Transponat av matris
Räkneregler för transponat
Huvudsatsen (version 1 och 2)
Invers matris
Räkneregler för invers

Definition: Symmetrisk matris, inverterbar matris

Exempel: Matrismultiplikation, transponat av matris, har ekvationssystemet oändlig många lösningar? Invers 2×2-matris, invers 3×3-matris, visa A:s invers, beräkna inversen till 2×2-matriser

Föreläsningsanteckningarna

Transponat av matris

Transponatet $latex A^{T}$ av matrisen $latex A$ fås genom att rader och kolonner ”byter plats”

Räkneregler för transponat

i) $latex \left(A^{T}\right)^{T}=A$
ii) $latex \left(A+B\right)^{T}=A^{T}+B^{T}$
iii) $latex \left(\lambda A\right)^{T}=\lambda\cdot A^{T}$
iv) $latex \left(AB\right)^{T}=B^{T}A^{T}$

Huvudsatsen (version 1 och 2)

Antag att $latex A$ är en $latex n\times n$-matris. Då är följande tre påståenden
ekvivalenta.

1. Kolonnvektorerna $latex A_{1},\dots,A_{n}$ utgör en bas i $latex \mathbb{R}^{n}$.
2. Ekvationssystemet $latex A\overline{\underline{X}}=0$ har endast lösningen $latex X=0$.
3. Ekvationssystemet $latex A\overline{\underline{X}}=Y$ är lösbart för varje $latex Y\in\mathbb{R}^{n}$.
4. Tillägg: $latex A$ är inverterbar

Invers matris

($latex n\times n$-matriser)

• För varje $latex a\neq0$ finns ett tal $latex b$ så att $latex ab=ba=\boxed{1}$ (tag $latex b=\frac{1}{a}$!).
• Talet $latex 1:\,1\cdot a=a,\quad \forall a\in\mathbb{R}$.
• Vi ska utvidga detta till matriser.
• Går att se tal som $latex 1\times1$-matriser

Räkneregler för invers

$latex A$, $latex B$ inverterbara.

1. $latex \left(A^{-1}\right)^{-1}=A$
2. $latex \left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}$
3. $latex \left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

Definition

Def.: Symmetrisk matris

$latex A$ är symmetrisk om $latex A=A^{T}$.
Behöver alltså vara kvadratisk.

Def.: Inverterbar matris

Vi säger att ($latex n\times n$-matrisen) $latex A$ är inverterbar om det finns en matris $latex B$ så att $latex AB=BA=I$.

Om $latex A$ är inverterbar: $latex A^{-1}=B$.

• $latex A^{-1}$ kallas inversen till $latex A$.
• $latex AA^{-1}=A^{-1}A=I$.

Exempel

Ex.: Matrismultiplikation

$latex A\cdot\overline{\underline{X}}=Y$

[latex]
\begin{pmatrix}1 & 2\\
3 & 4\\
5 & 6
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7 & 8\\
9 & 10
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot7+2\cdot9 & 1\cdot8+2\cdot10\\
3\cdot7+4\cdot9 & 3\cdot8+4\cdot10\\
5\cdot7+6\text{\ensuremath{\cdot}9} & 5\cdot8+6\text{\ensuremath{\cdot}10}
\end{pmatrix}[/latex]

Ex.: Transponat av matris

[latex]
\begin{pmatrix}1 & 2\\
3 & 4\\
5 & 6
\end{pmatrix}^{T}=\begin{pmatrix}1 & 3 & 5\\
2 & 4 & 6
\end{pmatrix}[/latex]

Ex.: Har ekvationssystemet (*) oändlig många lösningar?

Ekvationssystemet $latex (\ast)=\begin{cases}2x_{1}+x_{2}=0\\x_{1}-2x_{2}=0\end{cases}$

Lösning

1.Vi kan skriva $latex (\ast)$ som $latex A\overline{\underline{X}}=0$ där $latex A=\begin{pmatrix}2 & 1\\1 & -2\end{pmatrix}$, $latex \overline{\underline{X}}=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{y}\end{pmatrix}$

2. Vi kollar om 1) i satsen är sann, dvs. om $latex A_{1}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$, $latex A_{2}=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$ utgör i bas (i planet, $latex \mathbb{R}^{2}$)

3. $latex A_{1}\nparallel A_{2}\Rightarrow$ utgör en bas.

4. 1) sann $latex \Rightarrow$ 2) sann så $latex A\overline{\underline{X}}=0\Rightarrow\overline{\underline{X}}=0$,
dvs $latex x_{1}=x_{2}=0$.

Svar: Nej, systemet har en lösning.

Ex.: Invers 2×2-matris

$latex \begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}\underbrace{\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}}_{I_{2}=\text{Enhetsmatris}}=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$, ettor på diagonalen och nollor i övrigt.

Ex.: Invers 3×3-matris

[latex]
I_{3}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/latex]. $latex AI_{3}=A,\quad\text{\ensuremath{\forall}A\,(3\ensuremath{\times}3)}$,
$latex I_{3}A=A$.

Ex.: Visa A:s invers

Visa att för $latex A=\begin{pmatrix}2 & 1\\5 & 3\end{pmatrix}$ gäller $latex A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & -1\\-5 & 2\end{pmatrix}$.

Koll: $latex AA^{-1}=\begin{pmatrix}2 & 1\\5 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & -1\\-5 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}=I$.

Ex.: Beräkna inversen till 2×2-matriser

a) $latex A=\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}$.
b) $latex A=\begin{pmatrix}1 & -2\\2 & -4\end{pmatrix}$.

Lösning

a)

$latex A\overline{\underline{X}}=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$. $latex \overline{\underline{X}}=A^{-1}\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}=A^{-1}$

$latex \left[\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right|\left.\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right]\underbrace{=}_{\text{Gaussa}}\left[\underbrace{\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}}_{I}\right|\left.\underbrace{\begin{array}{cc}-2 & 1\\\frac{3}{2} & \frac{-1}{2}\end{array}}_{A^{-1}}\right]$

Så $latex A^{-1}=\begin{pmatrix}-2 & 1\\\frac{-3}{2} & \frac{-1}{2}\end{pmatrix}=\frac{-1}{2}\begin{pmatrix}4 & -2\\-3 & 1\end{pmatrix}$.

b)

[latex] \left[\begin{array}{cc}
1 & -2\\
2 & -4
\end{array}\right|\left.\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right]\underbrace{=}_{\text{Gaussa}}\left[\underbrace{\begin{array}{cc}
1 & -2\\
0 & 0
\end{array}}_{\text{0-rad, ej invbar.}}\right|\left.\begin{array}{cc}
1 & 0\\
-2 & 1
\end{array}\right][/latex]