FMA420 F7: 7.3-7.5

Transponat av matris
Räkneregler för transponat
Huvudsatsen (version 1 och 2)
Invers matris
Räkneregler för invers

Definition: Symmetrisk matris, inverterbar matris

Exempel: Matrismultiplikation, transponat av matris, har ekvationssystemet oändlig många lösningar? Invers 2×2-matris, invers 3×3-matris, visa A:s invers, beräkna inversen till 2×2-matriser

Föreläsningsanteckningarna

Transponat av matris

Transponatet A^{T} av matrisen A fås genom att rader och kolonner ”byter plats”

Räkneregler för transponat

i) \left(A^{T}\right)^{T}=A
ii) \left(A+B\right)^{T}=A^{T}+B^{T}
iii) \left(\lambda A\right)^{T}=\lambda\cdot A^{T}
iv) \left(AB\right)^{T}=B^{T}A^{T}

Huvudsatsen (version 1 och 2)

Antag att A är en n\times n-matris. Då är följande tre påståenden
ekvivalenta.

  1. Kolonnvektorerna A_{1},\dots,A_{n} utgör en bas i \mathbb{R}^{n}.
  2. Ekvationssystemet A\overline{\underline{X}}=0 har endast lösningen X=0.
  3. Ekvationssystemet A\overline{\underline{X}}=Y är lösbart för varje Y\in\mathbb{R}^{n}.
  4. Tillägg: A är inverterbar

Invers matris

(n\times n-matriser)

  • För varje a\neq0 finns ett tal b så att ab=ba=\boxed{1} (tag b=\frac{1}{a}!).
  • Talet 1:\,1\cdot a=a,\quad \forall a\in\mathbb{R}.
  • Vi ska utvidga detta till matriser.
  • Går att se tal som 1\times1-matriser

Räkneregler för invers

A, B inverterbara.

  1. \left(A^{-1}\right)^{-1}=A
  2. \left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}
  3. \left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}

Definition

Def.: Symmetrisk matris

A är symmetrisk om A=A^{T}.
Behöver alltså vara kvadratisk.

Def.: Inverterbar matris

Vi säger att (n\times n-matrisen) A är inverterbar om det finns en matris B så att AB=BA=I.

Om A är inverterbar: A^{-1}=B.

  • A^{-1} kallas inversen till A.
  • AA^{-1}=A^{-1}A=I.

Exempel

Ex.: Matrismultiplikation

A\cdot\overline{\underline{X}}=Y

<br /> \begin{pmatrix}1 & 2\\<br /> 3 & 4\\<br /> 5 & 6<br /> \end{pmatrix}\begin{pmatrix}7 & 8\\<br /> 9 & 10<br /> \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot7+2\cdot9 & 1\cdot8+2\cdot10\\<br /> 3\cdot7+4\cdot9 & 3\cdot8+4\cdot10\\<br /> 5\cdot7+6\text{\ensuremath{\cdot}9} & 5\cdot8+6\text{\ensuremath{\cdot}10}<br /> \end{pmatrix}

Ex.: Transponat av matris

<br /> \begin{pmatrix}1 & 2\\<br /> 3 & 4\\<br /> 5 & 6<br /> \end{pmatrix}^{T}=\begin{pmatrix}1 & 3 & 5\\<br /> 2 & 4 & 6<br /> \end{pmatrix}

Ex.: Har ekvationssystemet (*) oändlig många lösningar?

Ekvationssystemet (\ast)=\begin{cases}2x_{1}+x_{2}=0\\x_{1}-2x_{2}=0\end{cases}

Lösning

1.Vi kan skriva (\ast) som A\overline{\underline{X}}=0 där A=\begin{pmatrix}2 & 1\\1 & -2\end{pmatrix}, \overline{\underline{X}}=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{y}\end{pmatrix}

2. Vi kollar om 1) i satsen är sann, dvs. om A_{1}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}, A_{2}=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix} utgör i bas (i planet, \mathbb{R}^{2})

3. A_{1}\nparallel A_{2}\Rightarrow utgör en bas.

4. 1) sann \Rightarrow 2) sann så A\overline{\underline{X}}=0\Rightarrow\overline{\underline{X}}=0,
dvs x_{1}=x_{2}=0.

Svar: Nej, systemet har en lösning.

Ex.: Invers 2×2-matris

\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}\underbrace{\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}}_{I_{2}=\text{Enhetsmatris}}=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}, ettor på diagonalen och nollor i övrigt.

Ex.: Invers 3×3-matris

<br /> I_{3}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\<br /> 0 & 1 & 0\\<br /> 0 & 0 & 1<br /> \end{pmatrix}. AI_{3}=A,\quad\text{\ensuremath{\forall}A\,(3\ensuremath{\times}3)},
I_{3}A=A.

Ex.: Visa A:s invers

Visa att för A=\begin{pmatrix}2 & 1\\5 & 3\end{pmatrix} gäller A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & -1\\-5 & 2\end{pmatrix}.

Koll: AA^{-1}=\begin{pmatrix}2 & 1\\5 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & -1\\-5 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}=I.

Ex.: Beräkna inversen till 2×2-matriser

a) A=\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}.
b) A=\begin{pmatrix}1 & -2\\2 & -4\end{pmatrix}.

Lösning

a)

A\overline{\underline{X}}=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}. \overline{\underline{X}}=A^{-1}\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}=A^{-1}

\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right|\left.\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right]\underbrace{=}_{\text{Gaussa}}\left[\underbrace{\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}}_{I}\right|\left.\underbrace{\begin{array}{cc}-2 & 1\\\frac{3}{2} & \frac{-1}{2}\end{array}}_{A^{-1}}\right]

A^{-1}=\begin{pmatrix}-2 & 1\\\frac{-3}{2} & \frac{-1}{2}\end{pmatrix}=\frac{-1}{2}\begin{pmatrix}4 & -2\\-3 & 1\end{pmatrix}.

b)

 \left[\begin{array}{cc}<br /> 1 & -2\\<br /> 2 & -4<br /> \end{array}\right|\left.\begin{array}{cc}<br /> 1 & 0\\<br /> 0 & 1<br /> \end{array}\right]\underbrace{=}_{\text{Gaussa}}\left[\underbrace{\begin{array}{cc}<br /> 1 & -2\\<br /> 0 & 0<br /> \end{array}}_{\text{0-rad, ej invbar.}}\right|\left.\begin{array}{cc}<br /> 1 & 0\\<br /> -2 & 1<br /> \end{array}\right]

Kommentera

E-postadressen publiceras inte. Obligatoriska fält är märkta *

Denna webbplats använder Akismet för att minska skräppost. Lär dig hur din kommentardata bearbetas.