Transponat av matris
Räkneregler för transponat
Huvudsatsen (version 1 och 2)
Invers matris
Räkneregler för invers
Definition: Symmetrisk matris, inverterbar matris
Exempel: Matrismultiplikation, transponat av matris, har ekvationssystemet oändlig många lösningar? Invers 2×2-matris, invers 3×3-matris, visa A:s invers, beräkna inversen till 2×2-matriser
Transponat av matris
Transponatet av matrisen
fås genom att rader och kolonner ”byter plats”
Räkneregler för transponat
i)
ii)
iii)
iv)
Huvudsatsen (version 1 och 2)
Antag att är en
-matris. Då är följande tre påståenden
ekvivalenta.
- Kolonnvektorerna
utgör en bas i
.
- Ekvationssystemet
har endast lösningen
.
- Ekvationssystemet
är lösbart för varje
.
- Tillägg:
är inverterbar
Invers matris
(-matriser)
- För varje
finns ett tal
så att
(tag
!).
- Talet
.
- Vi ska utvidga detta till matriser.
- Går att se tal som
-matriser
Räkneregler för invers
,
inverterbara.
Definition
Def.: Symmetrisk matris
är symmetrisk om
.
Behöver alltså vara kvadratisk.
Def.: Inverterbar matris
Vi säger att (-matrisen)
är inverterbar om det finns en matris
så att
.
Om är inverterbar:
.
kallas inversen till
.
.
Exempel
Ex.: Matrismultiplikation
Ex.: Transponat av matris
Ex.: Har ekvationssystemet (*) oändlig många lösningar?
Ekvationssystemet
Lösning
1.Vi kan skriva som
där
,
2. Vi kollar om 1) i satsen är sann, dvs. om ,
utgör i bas (i planet,
)
3. utgör en bas.
4. 1) sann 2) sann så
,
dvs .
Svar: Nej, systemet har en lösning.
Ex.: Invers 2×2-matris
, ettor på diagonalen och nollor i övrigt.
Ex.: Invers 3×3-matris
.
,
.
Ex.: Visa A:s invers
Visa att för gäller
.
Koll: .
Ex.: Beräkna inversen till 2×2-matriser
a) .
b) .
Lösning
a)
.
Så .