Tre typer av värmetransport: värmeledning, konvektion och strålning. (Strålning på del 2)

Definition värme

Summaformeln

Exempel: Ledning genom metaller, värmeöverföring i glasfönster, värmetransport genom tak

Värmetransport

Värmeledning

T.ex. genom en vägg

$latex P=-\lambda \cdot A\cdot \frac{dT}{dx}$

Om $latex x$ och $latex A$ är konstanta:

$latex P=-\lambda\cdot A\cdot \frac{\Delta T}{x}$

Vid ledning genom cylindrisk rörvägg eller isolering räknas endast på konvektion (se nedan).

Konvektion

T.ex. sjöbris

$latex P=-\alpha\cdot A \cdot \left(T_k-T_v\right)$

$latex \alpha$ värmeövergångstal (vind-/dragberoende). Tabellvärde.

Värme

P=[W]

Energi som överförs per tidsenhet.

Summaformeln

$latex \frac{1}{k}=\sum\frac{L}{\lambda}+\sum\frac{1}{\alpha}$

Exempel

Ex.: Ledning genom metaller

Två stavar, koppar respektive järn,  med längd $latex L=25 cm$ och tvärsnittsarea $latex A=2,0 cm^2$ har ändytor i kontakt. Kopparstavens fria ände hålls vid temperaturen $latex T_{Cu}=100^{\circ}C$ och järnstavens vid $latex T_{Fe}=0^{\circ} C$. Stavarnas mantelytor är isolerade mot omgivningen.

a) Vad är temperaturen i gränsytan mellan stavarna?

b) Var är värmetransporten i stavarna?

Lösning

Eftersom mantelytorna är isolerade mot omgivningen kan en sluten process förutsättas och allt utbyte med omgivningen försummas.

a)

Formel för värmeöverföring genom ledning där $latex x$ och  och $latex A$ är konstant:

$latex P=-\lambda\cdot A\cdot \frac{\Delta T}{x}$.

Antar att ledningen går $latex T_{Fe}\rightarrow T_m \rightarrow T_{Cu}$

Fe: $latex P_{Fe}=-\lambda_{Fe} \cdot A\cdot\frac{T_{Fe}-T_m}{L_{Fe}}$

Från tabell: $latex \lambda_{Fe}=0,59W/(cm\cdot K)$

Cu: $latex P_{Cu}=-\lambda_{Cu} \cdot A\cdot\frac{T_m-T_{Cu}}{L_{Cu}}$.

Från tabell: $latex \lambda_{Cu}=3,8W/(cm\cdot K)$

Eftersom inget utbyte finns blir: $latex P_{Fe}=P_{Cu} \Rightarrow \lambda_{Fe}\cdot\frac{T_{Fe}-T_m}{L_{Fe}}=\lambda_{Cu}\cdot \frac{T_m-T_{Cu}}{L_{Cu}} \Rightarrow T_m=87 \,^{\circ}{\rm C}$

b)

Formeln för ledning: $latex P=-A \cdot \lambda \cdot \frac{\Delta T}{x}$ ger:

$latex P_{Fe}=-2\cdot 10^{-4}\cdot 59 \cdot \frac{-87}{0,25}=4,1\,{\rm W} $

Ex.: Värmeöverföring i glasfönster

Temperaturen inne $latex T_{inne}=20\,^{\circ}{\rm C}$ och ute $latex T_{ute}=0\,^{\circ}{\rm C}$. Värmeövergångstalen är $latex \alpha_{inne}=8 W/(m^2\cdot K)$ och $latex \alpha_{ute}=25 W/(m^2\cdot K)$.

a) Vad är värmeöverföringen för ett englasfönster med area $latex A=1,0 m^2$ och tjocklek $latex L_{glas}=5,0 mm$?

b) Vad är motsvarande för tvåglasfönster med 5 cm mellan glasen?

Lösning

a)

Det rör sig om konvektion: $latex P=-\alpha\cdot A \cdot \left(T_k-T_v\right)$

$latex \alpha=\frac{\lambda}{L}$. Där $latex L$ är längden på spalten.

Från tabell fås $latex \lambda_{glas}=0,84W/(m\cdot K)$.

Tre ”passager”:

• $latex P_{inne}=-\alpha_{inne}\cdot A(T_{inne}-T_{ute})$
• $latex P_{glas}=-\frac{\lambda_{glas}}{L_{glas}}\cdot A(T_{ute}-T_{inne})$
• $latex P_{ute}=-\alpha_{ute}\cdot A(T_{ute}-T_{inne})$

$latex T_{inne}-T_{ute}=\frac{P}{A}\left( \frac{1}{\alpha_{inne}}+\frac{L_{glas}}{\lambda_{glas}}+\frac{1}{\alpha_{ute}}\right) \Rightarrow P=117W$

b)

Antar ny tjocklek på glaset: 5,0 cm.

Antar att $latex \alpha_{m}=4W/m^(2\cdot K)$.

$latex \frac{1}{u}=\frac{1}{\alpha_{inne}}+\frac{L_{glas}}{\lambda_{glas}}+\frac{1}{\alpha_{m}}+\frac{1}{\alpha_{m}}+\frac{L_{glas}}{\lambda_{glas}}+\frac{1}{\alpha_{ute}} $

$latex P=A\cdot k \cdot \Delta T=30W$