Innehållsförteckning

Transponat av matris
Räkneregler för transponat
Huvudsatsen (version 1 och 2)
Invers matris
Räkneregler för invers

Definition: Symmetrisk matris, inverterbar matris

Exempel: Matrismultiplikation, transponat av matris, har ekvationssystemet oändlig många lösningar? Invers 2×2-matris, invers 3×3-matris, visa A:s invers, beräkna inversen till 2×2-matriser

Föreläsningsanteckningarna

Transponat av matris

Transponatet $A^{T}$ av matrisen $A$ fås genom att rader och kolonner ”byter plats”

Räkneregler för transponat

i) $\left(A^{T}\right)^{T}=A$
ii) $\left(A+B\right)^{T}=A^{T}+B^{T}$
iii) $\left(\lambda A\right)^{T}=\lambda\cdot A^{T}$
iv) $\left(AB\right)^{T}=B^{T}A^{T}$

Huvudsatsen (version 1 och 2)

Antag att $A$ är en $n\times n$ -matris. Då är följande tre påståenden
ekvivalenta.

Kolonnvektorerna $A_{1},\dots,A_{n}$ utgör en bas i $\mathbb{R}^{n}$ .
Ekvationssystemet $A\overline{\underline{X}}=0$ har endast lösningen $X=0$ .
Ekvationssystemet $A\overline{\underline{X}}=Y$ är lösbart för varje $Y\in\mathbb{R}^{n}$ .
Tillägg: $A$ är inverterbar

Invers matris

( $n\times n$ -matriser)

För varje $a\neq0$ finns ett tal $b$ så att $ab=ba=\boxed{1}$ (tag $b=\frac{1}{a}$ !).
Talet $1:\,1\cdot a=a,\quad \forall a\in\mathbb{R}$ .
Vi ska utvidga detta till matriser.
Går att se tal som $1\times1$ -matriser

Räkneregler för invers

$A$ , $B$ inverterbara.

$\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$
$\left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}$
$\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

Definition

Def.: Symmetrisk matris

$A$ är symmetrisk om $A=A^{T}$ .
Behöver alltså vara kvadratisk.

Def.: Inverterbar matris

Vi säger att ( $n\times n$ -matrisen) $A$ är inverterbar om det finns en matris $B$ så att $AB=BA=I$ .

Om $A$ är inverterbar: $A^{-1}=B$ .

$A^{-1}$ kallas inversen till $A$ .
$AA^{-1}=A^{-1}A=I$ .

Exempel

Ex.: Matrismultiplikation

$A\cdot\overline{\underline{X}}=Y$

$ \begin{pmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}7 & 8\\ 9 & 10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot7+2\cdot9 & 1\cdot8+2\cdot10\\ 3\cdot7+4\cdot9 & 3\cdot8+4\cdot10\\ 5\cdot7+6\text{\ensuremath{\cdot}9} & 5\cdot8+6\text{\ensuremath{\cdot}10} \end{pmatrix}$

Ex.: Transponat av matris

$ \begin{pmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{pmatrix}^{T}=\begin{pmatrix}1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$

Ex.: Har ekvationssystemet (*) oändlig många lösningar?

Ekvationssystemet $(\ast)=\begin{cases}2x_{1}+x_{2}=0\\x_{1}-2x_{2}=0\end{cases}$

Lösning

1.Vi kan skriva $(\ast)$ som $A\overline{\underline{X}}=0$ där $A=\begin{pmatrix}2 & 1\\1 & -2\end{pmatrix}$ , $\overline{\underline{X}}=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{y}\end{pmatrix}$

2. Vi kollar om 1) i satsen är sann, dvs. om $A_{1}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ , $A_{2}=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$ utgör i bas (i planet, $\mathbb{R}^{2}$ )

3. $A_{1}\nparallel A_{2}\Rightarrow$ utgör en bas.

4. 1) sann $\Rightarrow$ 2) sann så $A\overline{\underline{X}}=0\Rightarrow\overline{\underline{X}}=0$ ,
dvs $x_{1}=x_{2}=0$ .

Svar: Nej, systemet har en lösning.

Ex.: Invers 2×2-matris

$\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}\underbrace{\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}}_{I_{2}=\text{Enhetsmatris}}=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$ , ettor på diagonalen och nollor i övrigt.

Ex.: Invers 3×3-matris

$ I_{3}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ . $AI_{3}=A,\quad\text{\ensuremath{\forall}A\,(3\ensuremath{\times}3)}$ ,
$I_{3}A=A$ .

Ex.: Visa A:s invers

Visa att för $A=\begin{pmatrix}2 & 1\\5 & 3\end{pmatrix}$ gäller $A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & -1\\-5 & 2\end{pmatrix}$ .

Koll: $AA^{-1}=\begin{pmatrix}2 & 1\\5 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & -1\\-5 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}=I$ .

Ex.: Beräkna inversen till 2×2-matriser

a) $A=\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}$ .
b) $A=\begin{pmatrix}1 & -2\\2 & -4\end{pmatrix}$ .

Lösning

a)

$A\overline{\underline{X}}=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$ . $\overline{\underline{X}}=A^{-1}\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}=A^{-1}$

$\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right|\left.\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right]\underbrace{=}_{\text{Gaussa}}\left[\underbrace{\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}}_{I}\right|\left.\underbrace{\begin{array}{cc}-2 & 1\\\frac{3}{2} & \frac{-1}{2}\end{array}}_{A^{-1}}\right]$

Så $A^{-1}=\begin{pmatrix}-2 & 1\\\frac{-3}{2} & \frac{-1}{2}\end{pmatrix}=\frac{-1}{2}\begin{pmatrix}4 & -2\\-3 & 1\end{pmatrix}$ .

b)

$\left[\begin{array}{cc} 1 & -2\\ 2 & -4 \end{array}\right|\left.\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right]\underbrace{=}_{\text{Gaussa}}\left[\underbrace{\begin{array}{cc} 1 & -2\\ 0 & 0 \end{array}}_{\text{0-rad, ej invbar.}}\right|\left.\begin{array}{cc} 1 & 0\\ -2 & 1 \end{array}\right]$

FMA420 F7: 7.3-7.5

Transponat av matris

Räkneregler för transponat

Huvudsatsen (version 1 och 2)

Invers matris

Räkneregler för invers

Definition

Def.: Symmetrisk matris

Def.: Inverterbar matris

Exempel

Ex.: Matrismultiplikation

Ex.: Transponat av matris

Ex.: Har ekvationssystemet (*) oändlig många lösningar?

Lösning

Ex.: Invers 2×2-matris

Ex.: Invers 3×3-matris

Ex.: Visa A:s invers

Ex.: Beräkna inversen till 2×2-matriser

Lösning

a)

b)

Lämna ett svar Avbryt svar