FMA420: F9 8.1-8.2

~ Tobias Mörtlund

Definitioner: Funktion/avbildning, linjär avbildning, isometrisk avbildning

Sats: Isometrisk avbildning-ortogonal avbildningsmatris

Exempel: Funktion/avbildning, avbildningsmatris avbildning, avbildningsmatris spegling, ortogonal projektion, är projektion på plan som ej går genom origo linjärt? Rang och nolldimension projektionsmatris, rang och nolldimension speglingsmatris, rotation

Föreläsningsanteckningarna

Definitioner

Def.: Funktion/avbildning

Låt M_{1} och M_{2} vara mängder. En funktion eller avbildning F:M_{1}\to M_{2} är en regel som till varje x\in M_{1} ordnar precis ett element y\in M_{2}. Vi skriver y=F(x).

Def.: Linjär avbildning

Avbildningen F:V_{1}\to V_{2} kallas linjär om

  • F(\bar{u}_{1}+\bar{u}_{2})=F(\bar{u}_{1})+F(\bar{u}_{2})\quad\forall u_{1},u_{2}\in v_{1}
  • F(\lambda\bar{u})=\lambda F(\bar{u})\quad,\forall\lambda\in\mathbb{R}\text{ och }\forall\bar{u}\in V_{1}

Def.: Isometrisk avbildning

En (linjär) avbildning F är isometrisk om \left|F(\bar{u})\right|=\left|\bar{u}\right| för alla \bar{u} i definitionsmängden.

Satser

Sats: Isometrisk avbildning-ortogonal avbildningsmatris

En linjär avbildning är isometrisk \Leftrightarrow dess avbildningsmatris är ortogonal. (A ortogonal \Leftrightarrow kolonnvektorerna i A utgör ON-bas \Leftrightarrow AA^{T}=I\Leftrightarrow A^{T}A=I\Leftrightarrow A^{-1}=A^{T}).

Exempel

Ex.: Funktion/avbildning

Har sett f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} t.ex f(x)=\sin(x),x\in\mathbb{R}.

Ex.: Avbildningsmatris avbildning

Låt F:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} vara ortogonal projektion i planet \pi:x-y+z=0. Vad finns det för samband mellan koordinaterna för projektionen Q:(y_{1},y_{2},y_{3}) och den projicerade punkten P:(x_{1},x_{2},x_{3})?

Lösning

OBS! O\in\pi

  1. \vec{OQ}=(y_{1},y_{2},y_{3})
  2. \vec{OQ}=\vec{OP}-\vec{QP}
  3. \vec{OQ}=\vec{OP}-\frac{\vec{OP}\cdot\bar{n}}{\bar{n}\cdot\bar{n}}\bar{n}
  4. \vec{OQ}=\frac{1}{3}(2x_{1}+x_{2}-x_{3},\, x_{1}+2x_{2}+x_{3},\,-x_{1}+x_{2}+2x_{3})

Kan också skrivas som ett matrissamband \begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2x_{1}+x_{2}-x_{3}\\x_{1}+2x_{2}+x_{3}\\-x_{1}+x_{2}+2x_{3}\end{pmatrix}=\underbrace{\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & 1 & -1\\1 & 2 & 1\\-1 & 1 & 2\end{pmatrix}}_{A:\text{Avbildningsmatrisen for avbildningen}}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}

Här är A^{2}=A. Varför? Det är en projicering, en punkt som projiceras
i sitt plan blir samma punkt.

Ex.: Avbildningsmatris spegling

Spegling med samma punkt som ovan i samma plan.

Lösning

\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}=\underbrace{\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 2 & -2\\2 & 1 & 2\\-2 & 2 & 1\end{pmatrix}}_{A;\text{avbildningsmatris for spegling i \ensuremath{\pi}}}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}

Notering: A^{2}=I

Ex.: Ortogonal projektion

Ortogonal projektion på \pi:x-y+z-1=0.

Lösning

OBS går ej genom origo!

Samma räkningar ger: \begin{pmatrix} y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}=\underbrace{\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & 1 & -2\\1 & 2 & 1\\-1 & 1 & 2\end{pmatrix}}_{A}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}+\underbrace{\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}}_{\text{Uppstar p.g.a. ej gnm origo! \ensuremath{\parallel\bar{n}}}}

Ex.: Är projektion på plan som ej går genom origo linjärt?

Använder avbildningen ovan.

Lösning

F(\overline{\underline{X}})=A\overline{\underline{X}}+\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}

 

F(\overline{\underline{X}}_{1}+\overline{\underline{X}}_{2})=A(\overline{\underline{X}}_{1}+\overline{\underline{X}}_{2})+\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}=A\overline{\underline{X}}_{1}+A\overline{\underline{X}}_{2}+\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}

 

F(\overline{\underline{X}}_{1})+F(\overline{\underline{X}}_{2})=A\overline{\underline{X}}_{1}+\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}+A\overline{\underline{X}}_{2}+\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\-\\1\end{pmatrix}=F(\overline{\underline{X}}_{1}+\overline{\underline{X}}_{2})+\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}

Så F ej linjär!

Ex.:Rang och nolldimension projektionsmatris

Projektionsmatrisen: \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & 1 & -1\\1 & 2 & 1\\-1 & 1 & 2\end{pmatrix}

Lösning

Radreducera…

\text{rang}=2 och \text{nolldim}=1.
Allt parallellt med normalen avbildas på nollan. Vi projicerar på planet som är tvådimensionellt därför änr rangen två.

Ex.: Rang och nolldimension speglingsmatris

Speglingsmatrisen \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 2 & -2\\2 & 1 & 2\\-2 & 2 & 1\end{pmatrix}

Lösning

Radreducera…
\text{rang}=3. Bilden är tredimensionell så rangen är tre. \text{nolldim}=0

Ex.: Rotation

Bestäm avbildningsmatrisen A för rotation mot \frac{\pi}{2} med vinkeln \theta för  \bar{e}_{1}\parallel x-axeln.

Lösning

F(\bar{e}_{1})=(\cos(\theta),\sin(\theta))
F(\bar{e}_{2})=(-\sin(\theta),\cos(\theta))
A=\begin{pmatrix}\cos(\theta) & -\sin(\theta)\\\sin(\theta) & \cos(\theta)\end{pmatrix}

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras. Obligatoriska fält är märkta *

Denna webbplats använder Akismet för att minska skräppost. Lär dig hur din kommentardata bearbetas.