Innehållsförteckning
Definitioner: Funktion/avbildning, linjär avbildning, isometrisk avbildning
Sats: Isometrisk avbildning-ortogonal avbildningsmatris
Exempel: Funktion/avbildning, avbildningsmatris avbildning, avbildningsmatris spegling, ortogonal projektion, är projektion på plan som ej går genom origo linjärt? Rang och nolldimension projektionsmatris, rang och nolldimension speglingsmatris, rotation
Definitioner
Def.: Funktion/avbildning
Låt och
vara mängder. En funktion eller avbildning
är en regel som till varje
ordnar precis ett element
. Vi skriver
.
Def.: Linjär avbildning
Avbildningen kallas linjär om
Def.: Isometrisk avbildning
En (linjär) avbildning är isometrisk om
för alla
i definitionsmängden.
Satser
Sats: Isometrisk avbildning-ortogonal avbildningsmatris
En linjär avbildning är isometrisk dess avbildningsmatris är ortogonal. (
ortogonal
kolonnvektorerna i
utgör ON-bas
).
Exempel
Ex.: Funktion/avbildning
Har sett t.ex
.
Ex.: Avbildningsmatris avbildning
Låt vara ortogonal projektion i planet
. Vad finns det för samband mellan koordinaterna för projektionen
och den projicerade punkten
?
Lösning
OBS!
Kan också skrivas som ett matrissamband
Här är . Varför? Det är en projicering, en punkt som projiceras
i sitt plan blir samma punkt.
Ex.: Avbildningsmatris spegling
Spegling med samma punkt som ovan i samma plan.
Lösning
Notering:
Ex.: Ortogonal projektion
Ortogonal projektion på .
Lösning
OBS går ej genom origo!
Samma räkningar ger:
Ex.: Är projektion på plan som ej går genom origo linjärt?
Använder avbildningen ovan.
Lösning
Så ej linjär!
Ex.:Rang och nolldimension projektionsmatris
Projektionsmatrisen:
Lösning
Radreducera…
och
.
Allt parallellt med normalen avbildas på nollan. Vi projicerar på planet som är tvådimensionellt därför änr rangen två.
Ex.: Rang och nolldimension speglingsmatris
Speglingsmatrisen
Lösning
Radreducera…
. Bilden är tredimensionell så rangen är tre.
Ex.: Rotation
Bestäm avbildningsmatrisen för rotation mot
med vinkeln
för
.
Lösning