Definition: Definitionsmängd och värdemängd, injektiv, surjektiv, bijektiv
Exempel: Bestäm värdemängden för ortogonal projektion, sammansatta funktioner, sammansatta avbildningar, bestäm avbildningsmatrisen för avbildningarna, avbildningsmatris för spegling 2 gånger i plan, bijektivitet, basbyte spegling i plan
Kontrollera linjäritet
Sammansättning och invers
Egenskaper som följer av bijektivitet
Basbyte vid linjära avbildningar
Kontrollera linjäritet
är linjär så gäller
. Detta ses genom att sätta
i
.
Sammansättning och invers
Sats: Om har avbildningsmatris
och
har avbildningsmatris
och
är definierad så är
också linjär och dess avbildningsmatris är
Egenskaper som följer av bijektivitet
Om är bijektiv kan vi bilda avbildningen
så att
Om är linjär och bijektiv med avbildningsmatris
så är
linjär med avbildningsmatris
T.ex:
Basbyte vid linjära avbildningar
Antag att vi har två baser och
, och en linjär avbildning som ges av
i basen
och
i basen . Vilket samband finns mellan
och
?
Komihåg: Om så är
och
Sats: Om en avbildning har avbildningsmatrisen i basen
och avbildningsmatrisen
i basen
och
så gäller
(
från vänster och
från höger)
Definitioner
Def.: Definitionsmängd och värdemängd
Slarvigt: ”det som stoppas in (definitionsmängd) och det som fås ut (värdemängd)”
.
kallas definitionsmängd
.
kallas för värdemängd
och består av alla
sådana att
för något
.
Def.: Injektiv, surjektiv, bijektiv
En avbildning är injektiv om det till varje
finns precis ett
så att
(Varje y får endast träffas en gång så
ej injektiv!)
Om så är
surjektiv (precis allt träffas).
Om är injektiv och subjektiv så säger man att
bijektiv}
Exempel
Ex.: Bestäm värdemängden för ortogonal projektion
Planet som det projiceras på
Lösning
”Vilka ,
,
kan vi träffa?”
Här är det nog klart att värdemängden blir planet
Förra gången:
Vilka kan vi träffa när vi stoppar in
?
Som linjärt ekvationssystem.
För vila högerled har systemet nedan lösning?
Så lösning finns . Finns två pivotpositioner ovan vilket ger parameterlösning.
Ex.: Sammansatta funktioner
Låt och
. Vi kan bilda
och så
i allmänhet.
Ex.: Sammansatta avbildningar
Om och
är linjära avbildningar med
så kan vi bilda
i
.
”Allt som kommer ut från ska kunna stoppas in i
”
Ex.: Bestäm avbildningsmatrisen för avbildningarna
a) För spegling i , därefter spegling i
-planet.
b) Först spegling i -planet, därefter spegling i
.
Lösning
Båda planen är linjära, varför? (se första stycket)
Spegling i :
(förra gången)
Spegling i -planet,
:
(Se http://dixon.hh.se/getc/LinSys/LinAvbildningar.pdf)
a) Tar (det som ska träffa vektorerna först till höger, vektorn är alltså till vänster om
).
(sista raden byter tecken)
b) Tar istället (sista kolonnen byter tecken)
Ex.: Avbildningsmatris för spegling två gånger i plan
Avbildningsmatris för spegling 2 gånger i planet ges av
där
är speglingsmatrisen ovan
Lösning
var symmetrisk så
.
var också ortogonal så
dvs.
.
Ex.: Bijektivitet
Spegling i är bijektiv.
så speglingens invers är spegling igen.
Ortogonal projektion på är inte bijektiv (är varken injektiv eller surjektiv)
Ej injektiv (tänk projektion efter normalen). Ej surjektiv; kan ej träffa punkter utanför planet.
Avbildningsmatrisen ej inverterbar.
Ex.: Basbyte spegling i plan
Spegling i . Inför en ny ON-bas
,
och så att avbildningsmatrisen
blir så enkel som möjligt.
Lösning
Vi har sett att avbildningen har avbildningsmatris i basen
Välj , ortogonala mot varandra.
Den tredje vektorn väljer vi som en normal till med längd 1.
Då gäller .
Vi får då avbildningsmatris
Till exempel duger (,
.
Ortonormalt basbyte
ortogonal alltså är
.
Vi får