FMA420: F10 8.3-8.5

Definition: Definitionsmängd och värdemängd, injektiv, surjektiv, bijektiv

Exempel: Bestäm värdemängden för ortogonal projektion, sammansatta funktioner, sammansatta avbildningar, bestäm avbildningsmatrisen för avbildningarna, avbildningsmatris för spegling 2 gånger i plan, bijektivitet, basbyte spegling i plan

Kontrollera linjäritet
Sammansättning och invers
Egenskaper som följer av bijektivitet
Basbyte vid linjära avbildningar

Föreläsningsanteckningarna

Kontrollera linjäritet

F är linjär så gäller F(0)=0. Detta ses genom att sätta  \lambda=0 i F\underbrace{(\lambda\bar{u})}_{=0}=\underbrace{\lambda F(\bar{u})}_{=0}.

Sammansättning och invers

Sats: Om G har avbildningsmatris B och F har avbildningsmatris A och F\circ G är definierad så är F\circ G också linjär och dess avbildningsmatris är AB

Egenskaper som följer av bijektivitet

Om F är bijektiv kan vi bilda avbildningen F^{-1} så att y=F(x)\Leftrightarrow x=F^{-1}(y)

Om F är linjär och bijektiv med avbildningsmatris A så är F^{-1}
linjär med avbildningsmatris A^{-1}
T.ex: Y=A\overline{\underline{X}}\Leftrightarrow A^{-1}Y=\overline{\underline{X}}

Basbyte vid linjära avbildningar

Antag att vi har två baser E och E^\prime, och en linjär avbildning som ges av Y=A\overline{\underline{X}} i basen E och Y^\prime=A^\prime\overline{\underline{X}}^\prime
i basen E^\prime. Vilket samband finns mellan A och A^\prime?

Komihåg: Om E^\prime=S^{T}E så är \overline{\underline{X}}=S\overline{\underline{X}}^\prime och Y=S\overline{\underline{Y}}^\prime

Y=A\overline{\underline{X}}\Leftrightarrow SY^\prime=AS\overline{\underline{X}}^\prime\Leftrightarrow Y^\prime=\underbrace{S^{-1}AS}_{=A^\prime}\overline{\underline{X}}^\prime

Sats: Om en avbildning har avbildningsmatrisen A i basen E och avbildningsmatrisen A^\prime i basen E^\prime och E^\prime=S^{T}E så gäller A^\prime=S^{-1}AS (S^{-1} från vänster och S från höger)

Definitioner

Def.: Definitionsmängd och värdemängd

Slarvigt: ”det som stoppas in (definitionsmängd) och det som fås ut (värdemängd)”

F:M_{1}\to M_{2}. M_{1} kallas definitionsmängd D_{F}.

M_{2} kallas för värdemängd V_{F} och består av alla y\in M_{2} sådana att y=F(x) för något x\in D_{F}.

Def.: Injektiv, surjektiv, bijektiv

En avbildning F:M_{1}\to M_{2} är injektiv om det till varje y\in V_{F} finns precis ett x\in D_{F} så att y=F(x) (Varje y får endast träffas en gång så y=x^{2} ej injektiv!)

Om V_{F}=M_{2} så är F surjektiv (precis allt träffas).

Om F är injektiv och subjektiv så säger man att F bijektiv}

Exempel

Ex.: Bestäm värdemängden för ortogonal projektion

Planet som det projiceras på \pi:x-y+z=0

Lösning

”Vilka x, y, z kan vi träffa?”
Här är det nog klart att värdemängden blir planet \pi
Förra gången:

\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & 1 & -1\\1 & 2 & 1\\-1 & 1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}

Vilka y kan vi träffa när vi stoppar in x?

(A\overline{\underline{X}}=Y)

Som linjärt ekvationssystem.
För vila högerled har systemet nedan lösning?

\begin{cases}2x_{1}+x_{2}-x_{3}=3y_{1}\\x_{1}+2x_{2}+x_{3}=3y_{2}\\-x_{1}+x_{2}+2x_{3}=3y_{3}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x_{1}+2x_{2}+x_{3}=3y_{2}\\-3x_{2}-3x_{3}=3y_{1}-6y_{2}\\0=3y_{1}-3y_{2}+3y_{3}\end{cases}

Så lösning finns \Leftrightarrow y_{1}-y_{2}+y_{3}=0. Finns två pivotpositioner ovan vilket ger parameterlösning.

Ex.: Sammansatta funktioner

Låt f(x)=\sin(x) och g(x)=2x. Vi kan bilda f\circ g(x)=f(g(x))=f(2x)=\sin(2x)
och g\circ f(x)=g(f(x))=g(\sin(x))=2\sin(x)g\circ f\neq f\circ g i allmänhet.

Ex.: Sammansatta avbildningar

Om G:M_{1}\to M_{2} och F:M_{2}\to M_{3} är linjära avbildningar med V_{G}\subset D_{F} så kan vi bilda F\circ G i F\circ G(x)=F(G(x)).

”Allt som kommer ut från G ska kunna stoppas in i F

Ex.: Bestäm avbildningsmatrisen för avbildningarna

a) För spegling i \pi:x-y+z=0, därefter spegling i xy-planet.
b) Först spegling i xy-planet, därefter spegling i \pi:x-y+z=0.

Lösning

Båda planen är linjära, varför? (se första stycket)

Spegling i \pi: A=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 2 & -2\\2 & 1 & 2\\-2 & 2 & 1\end{pmatrix} (förra gången)

Spegling i xy-planet, z=0:

  • \bar{e}_{1}\to\bar{e}_{1}
  • \bar{e}_{2}\to\bar{e}_{2}
  • \bar{e}_{3}\to\bar{e}_{3}

B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & -1\end{pmatrix} (Se http://dixon.hh.se/getc/LinSys/LinAvbildningar.pdf)

a) Tar BA (det som ska träffa vektorerna först till höger, vektorn är alltså till vänster om AB). BA=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 2 & -2\\2 & 1 & 2\\2 & -2 & -1\end{pmatrix} (sista raden byter tecken)

b) Tar istället AB=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 2 & 2\\2 & 1 & -2\\-2 & 2 & -1\end{pmatrix} (sista kolonnen byter tecken)

Ex.: Avbildningsmatris för spegling två gånger i plan

Avbildningsmatris för spegling 2 gånger i planet x-y+z=0 ges av AA där A är speglingsmatrisen ovan

Lösning

A var symmetrisk så A=A^{T}. A var också ortogonal så AA^{T}=I dvs. AA=I.

Ex.: Bijektivitet

Spegling i x-y+z=0 är bijektiv. AA=I så speglingens invers är spegling igen.

Ortogonal projektion på x-y+z=0 är inte bijektiv (är varken injektiv eller surjektiv)
Ej injektiv (tänk projektion efter normalen). Ej surjektiv; kan ej träffa punkter utanför planet.
Avbildningsmatrisen ej inverterbar.

Ex.: Basbyte spegling i plan

Spegling i \pi:x-y+z=0. Inför en ny ON-bas \bar{e}_{1}^\prime, \bar{e}_{2}^\prime
och \bar{e}_{3}^\prime så att avbildningsmatrisen A^\prime blir så enkel som möjligt.

Lösning

Vi har sett att avbildningen har avbildningsmatris A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -2\\2 & 1 & 2\\-2 & 2 & 1\end{pmatrix} i basen \begin{cases}\bar{e}_{1}=(1,0,0)\\\bar{e}_{2}=(0,1,0)\\\bar{e}_{3}=(0,0,1)\end{cases}

Välj \bar{e}_{1}^\prime,\bar{e}_{2}^\prime\parallel\pi , ortogonala mot varandra.

\bar{e}_{1}^{\prime}\to\bar{e}_{1}{}^{\prime}
\bar{e}_{2}{}^{\prime}\to\bar{e}_{2}{}^{\prime}

Den tredje vektorn väljer vi som en normal till \pi med längd 1.
Då gäller \bar{e}_{3}{}^{\prime}\to-\bar{e}_{3}{}^{\prime}.

Vi får då avbildningsmatris A{}^{\prime}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & -1\end{pmatrix}

Till exempel duger (\bar{n}=(1,-1,1)), \begin{cases}\bar{e}_{1}{}^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)\\\bar{e}_{2}{}^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{6}}(-1,1,2) & \text{Kryssprodukt med normalen och normalisering}\\\bar{e}_{3}{}^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1)\end{cases}.

E{}^{\prime}=\underbrace{\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}\sqrt{3} & \sqrt{3} & 0\\-1 & 1 & 2\\\sqrt{2} & -\sqrt{2} & \sqrt{2}\end{pmatrix}}_{S^{T}}E

S=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}\sqrt{3} & -1 & \sqrt{2}\\\sqrt{3} & 1 & -\sqrt{2}\\0 & 2 & \sqrt{2}\end{pmatrix}

Ortonormalt basbyte \Rightarrow S ortogonal alltså är S^{-1}=S^{T}.

Vi får A{}^{\prime}=S^{-1}AS\overbrace{=}^{\text{\ensuremath{S} ortogonal}}S^{T}AS=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}\sqrt{3} & \sqrt{3} & 0\\-1 & 1 & 2\\\sqrt{2} & -\sqrt{2} & \sqrt{2}\end{pmatrix}\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 2 & -2\\2 & 1 & 2\\-2 & 2 & 1\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}\sqrt{3} & -1 & \sqrt{2}\\\sqrt{3} & 1 & -\sqrt{2}\\0 & 2 & \sqrt{2}\end{pmatrix}=\frac{1}{18}\begin{pmatrix}18 & 0 & 0\\0 & 18 & 0\\0 & 0 & -18\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & -1\end{pmatrix}

Kommentera

E-postadressen publiceras inte. Obligatoriska fält är märkta *

Denna webbplats använder Akismet för att minska skräppost. Lär dig hur din kommentardata bearbetas.