Innehållsförteckning
Definition: Definitionsmängd och värdemängd, injektiv, surjektiv, bijektiv
Exempel: Bestäm värdemängden för ortogonal projektion, sammansatta funktioner, sammansatta avbildningar, bestäm avbildningsmatrisen för avbildningarna, avbildningsmatris för spegling 2 gånger i plan, bijektivitet, basbyte spegling i plan
Kontrollera linjäritet
Sammansättning och invers
Egenskaper som följer av bijektivitet
Basbyte vid linjära avbildningar
Kontrollera linjäritet
$latex F$ är linjär så gäller $latex F(0)=0$. Detta ses genom att sätta $latex \lambda=0$ i $latex F\underbrace{(\lambda\bar{u})}_{=0}=\underbrace{\lambda F(\bar{u})}_{=0}$.
Sammansättning och invers
Sats: Om $latex G$ har avbildningsmatris $latex B$ och $latex F$ har avbildningsmatris $latex A$ och $latex F\circ G$ är definierad så är $latex F\circ G$ också linjär och dess avbildningsmatris är $latex AB$
Egenskaper som följer av bijektivitet
Om $latex F$ är bijektiv kan vi bilda avbildningen $latex F^{-1}$ så att $latex y=F(x)\Leftrightarrow x=F^{-1}(y)$
Om $latex F$ är linjär och bijektiv med avbildningsmatris $latex A$ så är $latex F^{-1}$
linjär med avbildningsmatris $latex A^{-1}$
T.ex: $latex Y=A\overline{\underline{X}}\Leftrightarrow A^{-1}Y=\overline{\underline{X}}$
Basbyte vid linjära avbildningar
Antag att vi har två baser $latex E$ och $latex E^\prime$, och en linjär avbildning som ges av $latex Y=A\overline{\underline{X}}$ i basen $latex E$ och $latex Y^\prime=A^\prime\overline{\underline{X}}^\prime$
i basen $latex E^\prime$. Vilket samband finns mellan $latex A$ och $latex A^\prime$?
Komihåg: Om $latex E^\prime=S^{T}E$ så är $latex \overline{\underline{X}}=S\overline{\underline{X}}^\prime$ och $latex Y=S\overline{\underline{Y}}^\prime$
$latex Y=A\overline{\underline{X}}\Leftrightarrow SY^\prime=AS\overline{\underline{X}}^\prime\Leftrightarrow Y^\prime=\underbrace{S^{-1}AS}_{=A^\prime}\overline{\underline{X}}^\prime$
Sats: Om en avbildning har avbildningsmatrisen $latex A$ i basen $latex E$ och avbildningsmatrisen $latex A^\prime$ i basen $latex E^\prime$ och $latex E^\prime=S^{T}E$ så gäller $latex A^\prime=S^{-1}AS$ ($latex S^{-1}$ från vänster och $latex S$ från höger)
Definitioner
Def.: Definitionsmängd och värdemängd
Slarvigt: ”det som stoppas in (definitionsmängd) och det som fås ut (värdemängd)”
$latex F:M_{1}\to M_{2}$. $latex M_{1}$ kallas definitionsmängd $latex D_{F}$.
$latex M_{2}$ kallas för värdemängd $latex V_{F}$ och består av alla $latex y\in M_{2}$ sådana att $latex y=F(x)$ för något $latex x\in D_{F}$.
Def.: Injektiv, surjektiv, bijektiv
En avbildning $latex F:M_{1}\to M_{2}$ är injektiv om det till varje $latex y\in V_{F}$ finns precis ett $latex x\in D_{F}$ så att $latex y=F(x)$ (Varje y får endast träffas en gång så $latex y=x^{2}$ ej injektiv!)
Om $latex V_{F}=M_{2}$ så är $latex F$ surjektiv (precis allt träffas).
Om $latex F$ är injektiv och subjektiv så säger man att $latex F$ bijektiv}
Exempel
Ex.: Bestäm värdemängden för ortogonal projektion
Planet som det projiceras på $latex \pi:x-y+z=0$
Lösning
”Vilka $latex x$, $latex y$, $latex z$ kan vi träffa?”
Här är det nog klart att värdemängden blir planet $latex \pi$
Förra gången:
$latex \begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & 1 & -1\\1 & 2 & 1\\-1 & 1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}$
Vilka $latex y$ kan vi träffa när vi stoppar in $latex x$?
$latex (A\overline{\underline{X}}=Y)$
Som linjärt ekvationssystem.
För vila högerled har systemet nedan lösning?
$latex \begin{cases}2x_{1}+x_{2}-x_{3}=3y_{1}\\x_{1}+2x_{2}+x_{3}=3y_{2}\\-x_{1}+x_{2}+2x_{3}=3y_{3}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x_{1}+2x_{2}+x_{3}=3y_{2}\\-3x_{2}-3x_{3}=3y_{1}-6y_{2}\\0=3y_{1}-3y_{2}+3y_{3}\end{cases}$
Så lösning finns $latex \Leftrightarrow y_{1}-y_{2}+y_{3}=0$. Finns två pivotpositioner ovan vilket ger parameterlösning.
Ex.: Sammansatta funktioner
Låt $latex f(x)=\sin(x)$ och $latex g(x)=2x$. Vi kan bilda $latex f\circ g(x)=f(g(x))=f(2x)=\sin(2x)$
och $latex g\circ f(x)=g(f(x))=g(\sin(x))=2\sin(x)$ så $latex g\circ f\neq f\circ g$ i allmänhet.
Ex.: Sammansatta avbildningar
Om $latex G:M_{1}\to M_{2}$ och $latex F:M_{2}\to M_{3}$ är linjära avbildningar med $latex V_{G}\subset D_{F}$ så kan vi bilda $latex F\circ G$ i $latex F\circ G(x)=F(G(x))$.
”Allt som kommer ut från $latex G$ ska kunna stoppas in i $latex F$”
Ex.: Bestäm avbildningsmatrisen för avbildningarna
a) För spegling i $latex \pi:x-y+z=0$, därefter spegling i $latex xy$-planet.
b) Först spegling i $latex xy$-planet, därefter spegling i $latex \pi:x-y+z=0$.
Lösning
Båda planen är linjära, varför? (se första stycket)
Spegling i $latex \pi$: $latex A=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 2 & -2\\2 & 1 & 2\\-2 & 2 & 1\end{pmatrix}$ (förra gången)
Spegling i $latex xy$-planet, $latex z=0$:
- $latex \bar{e}_{1}\to\bar{e}_{1}$
- $latex \bar{e}_{2}\to\bar{e}_{2}$
- $latex \bar{e}_{3}\to\bar{e}_{3}$
$latex B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & -1\end{pmatrix}$ (Se http://dixon.hh.se/getc/LinSys/LinAvbildningar.pdf)
a) Tar $latex BA$ (det som ska träffa vektorerna först till höger, vektorn är alltså till vänster om $latex AB$). $latex BA=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 2 & -2\\2 & 1 & 2\\2 & -2 & -1\end{pmatrix}$ (sista raden byter tecken)
b) Tar istället $latex AB=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 2 & 2\\2 & 1 & -2\\-2 & 2 & -1\end{pmatrix}$ (sista kolonnen byter tecken)
Ex.: Avbildningsmatris för spegling två gånger i plan
Avbildningsmatris för spegling 2 gånger i planet $latex x-y+z=0$ ges av $latex AA$ där $latex A$ är speglingsmatrisen ovan
Lösning
$latex A$ var symmetrisk så $latex A=A^{T}$. $latex A$ var också ortogonal så $latex AA^{T}=I$ dvs. $latex AA=I$.
Ex.: Bijektivitet
Spegling i $latex x-y+z=0$ är bijektiv. $latex AA=I$ så speglingens invers är spegling igen.
Ortogonal projektion på $latex x-y+z=0$ är inte bijektiv (är varken injektiv eller surjektiv)
Ej injektiv (tänk projektion efter normalen). Ej surjektiv; kan ej träffa punkter utanför planet.
Avbildningsmatrisen ej inverterbar.
Ex.: Basbyte spegling i plan
Spegling i $latex \pi:x-y+z=0$. Inför en ny ON-bas $latex \bar{e}_{1}^\prime$, $latex \bar{e}_{2}^\prime$
och $latex \bar{e}_{3}^\prime$ så att avbildningsmatrisen $latex A^\prime$ blir så enkel som möjligt.
Lösning
Vi har sett att avbildningen har avbildningsmatris $latex A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -2\\2 & 1 & 2\\-2 & 2 & 1\end{pmatrix}$ i basen $latex \begin{cases}\bar{e}_{1}=(1,0,0)\\\bar{e}_{2}=(0,1,0)\\\bar{e}_{3}=(0,0,1)\end{cases}$
Välj $latex \bar{e}_{1}^\prime,\bar{e}_{2}^\prime\parallel\pi$ , ortogonala mot varandra.
$latex \bar{e}_{1}^{\prime}\to\bar{e}_{1}{}^{\prime}$
$latex \bar{e}_{2}{}^{\prime}\to\bar{e}_{2}{}^{\prime}$
Den tredje vektorn väljer vi som en normal till $latex \pi$ med längd 1.
Då gäller $latex \bar{e}_{3}{}^{\prime}\to-\bar{e}_{3}{}^{\prime}$.
Vi får då avbildningsmatris $latex A{}^{\prime}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & -1\end{pmatrix}$
Till exempel duger ($latex \bar{n}=(1,-1,1))$, $latex \begin{cases}\bar{e}_{1}{}^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)\\\bar{e}_{2}{}^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{6}}(-1,1,2) & \text{Kryssprodukt med normalen och normalisering}\\\bar{e}_{3}{}^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1)\end{cases}$.
$latex E{}^{\prime}=\underbrace{\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}\sqrt{3} & \sqrt{3} & 0\\-1 & 1 & 2\\\sqrt{2} & -\sqrt{2} & \sqrt{2}\end{pmatrix}}_{S^{T}}E$
$latex S=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}\sqrt{3} & -1 & \sqrt{2}\\\sqrt{3} & 1 & -\sqrt{2}\\0 & 2 & \sqrt{2}\end{pmatrix}$
Ortonormalt basbyte $latex \Rightarrow$ $latex S$ ortogonal alltså är $latex S^{-1}=S^{T}$.
Vi får $latex A{}^{\prime}=S^{-1}AS\overbrace{=}^{\text{\ensuremath{S} ortogonal}}S^{T}AS=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}\sqrt{3} & \sqrt{3} & 0\\-1 & 1 & 2\\\sqrt{2} & -\sqrt{2} & \sqrt{2}\end{pmatrix}\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 2 & -2\\2 & 1 & 2\\-2 & 2 & 1\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}\sqrt{3} & -1 & \sqrt{2}\\\sqrt{3} & 1 & -\sqrt{2}\\0 & 2 & \sqrt{2}\end{pmatrix}=\frac{1}{18}\begin{pmatrix}18 & 0 & 0\\0 & 18 & 0\\0 & 0 & -18\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & -1\end{pmatrix}$