Definition: Definitionsmängd och värdemängd, injektiv, surjektiv, bijektiv

Exempel: Bestäm värdemängden för ortogonal projektion, sammansatta funktioner, sammansatta avbildningar, bestäm avbildningsmatrisen för avbildningarna, avbildningsmatris för spegling 2 gånger i plan, bijektivitet, basbyte spegling i plan

Kontrollera linjäritet
Sammansättning och invers
Egenskaper som följer av bijektivitet
Basbyte vid linjära avbildningar

Kontrollera linjäritet

$F$ är linjär så gäller $F(0)=0$ . Detta ses genom att sätta $\lambda=0$ i $F\underbrace{(\lambda\bar{u})}_{=0}=\underbrace{\lambda F(\bar{u})}_{=0}$ .

Sammansättning och invers

Sats: Om $G$ har avbildningsmatris $B$ och $F$ har avbildningsmatris $A$ och $F\circ G$ är definierad så är $F\circ G$ också linjär och dess avbildningsmatris är $AB$

Egenskaper som följer av bijektivitet

Om $F$ är bijektiv kan vi bilda avbildningen $F^{-1}$ så att $y=F(x)\Leftrightarrow x=F^{-1}(y)$

Om $F$ är linjär och bijektiv med avbildningsmatris $A$ så är $F^{-1}$
linjär med avbildningsmatris $A^{-1}$
T.ex: $Y=A\overline{\underline{X}}\Leftrightarrow A^{-1}Y=\overline{\underline{X}}$

Basbyte vid linjära avbildningar

Antag att vi har två baser $E$ och $E^\prime$ , och en linjär avbildning som ges av $Y=A\overline{\underline{X}}$ i basen $E$ och $Y^\prime=A^\prime\overline{\underline{X}}^\prime$
i basen $E^\prime$ . Vilket samband finns mellan $A$ och $A^\prime$ ?

Komihåg: Om $E^\prime=S^{T}E$ så är $\overline{\underline{X}}=S\overline{\underline{X}}^\prime$ och $Y=S\overline{\underline{Y}}^\prime$

$Y=A\overline{\underline{X}}\Leftrightarrow SY^\prime=AS\overline{\underline{X}}^\prime\Leftrightarrow Y^\prime=\underbrace{S^{-1}AS}_{=A^\prime}\overline{\underline{X}}^\prime$

Sats: Om en avbildning har avbildningsmatrisen $A$ i basen $E$ och avbildningsmatrisen $A^\prime$ i basen $E^\prime$ och $E^\prime=S^{T}E$ så gäller $A^\prime=S^{-1}AS$ ( $S^{-1}$ från vänster och $S$ från höger)

Definitioner

Def.: Definitionsmängd och värdemängd

Slarvigt: ”det som stoppas in (definitionsmängd) och det som fås ut (värdemängd)”

$F:M_{1}\to M_{2}$ . $M_{1}$ kallas definitionsmängd $D_{F}$ .

$M_{2}$ kallas för värdemängd $V_{F}$ och består av alla $y\in M_{2}$ sådana att $y=F(x)$ för något $x\in D_{F}$ .

Def.: Injektiv, surjektiv, bijektiv

En avbildning $F:M_{1}\to M_{2}$ är injektiv om det till varje $y\in V_{F}$ finns precis ett $x\in D_{F}$ så att $y=F(x)$ (Varje y får endast träffas en gång så $y=x^{2}$ ej injektiv!)

Om $V_{F}=M_{2}$ så är $F$ surjektiv (precis allt träffas).

Om $F$ är injektiv och subjektiv så säger man att $F$ bijektiv}

Exempel

Ex.: Bestäm värdemängden för ortogonal projektion

Planet som det projiceras på $\pi:x-y+z=0$

Lösning

”Vilka $x$ , $y$ , $z$ kan vi träffa?”
Här är det nog klart att värdemängden blir planet $\pi$
Förra gången:

$\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & 1 & -1\\1 & 2 & 1\\-1 & 1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}$

Vilka $y$ kan vi träffa när vi stoppar in $x$ ?

$(A\overline{\underline{X}}=Y)$

Som linjärt ekvationssystem.
För vila högerled har systemet nedan lösning?

$\begin{cases}2x_{1}+x_{2}-x_{3}=3y_{1}\\x_{1}+2x_{2}+x_{3}=3y_{2}\\-x_{1}+x_{2}+2x_{3}=3y_{3}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x_{1}+2x_{2}+x_{3}=3y_{2}\\-3x_{2}-3x_{3}=3y_{1}-6y_{2}\\0=3y_{1}-3y_{2}+3y_{3}\end{cases}$

Så lösning finns $\Leftrightarrow y_{1}-y_{2}+y_{3}=0$ . Finns två pivotpositioner ovan vilket ger parameterlösning.

Ex.: Sammansatta funktioner

Låt $f(x)=\sin(x)$ och $g(x)=2x$ . Vi kan bilda $f\circ g(x)=f(g(x))=f(2x)=\sin(2x)$
och $g\circ f(x)=g(f(x))=g(\sin(x))=2\sin(x)$ så $g\circ f\neq f\circ g$ i allmänhet.

Ex.: Sammansatta avbildningar

Om $G:M_{1}\to M_{2}$ och $F:M_{2}\to M_{3}$ är linjära avbildningar med $V_{G}\subset D_{F}$ så kan vi bilda $F\circ G$ i $F\circ G(x)=F(G(x))$ .

”Allt som kommer ut från $G$ ska kunna stoppas in i $F$ ”

Ex.: Bestäm avbildningsmatrisen för avbildningarna

a) För spegling i $\pi:x-y+z=0$ , därefter spegling i $xy$ -planet.
b) Först spegling i $xy$ -planet, därefter spegling i $\pi:x-y+z=0$ .

Lösning

Båda planen är linjära, varför? (se första stycket)

Spegling i $\pi$ : $A=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 2 & -2\\2 & 1 & 2\\-2 & 2 & 1\end{pmatrix}$ (förra gången)

Spegling i $xy$ -planet, $z=0$ :

$\bar{e}_{1}\to\bar{e}_{1}$
$\bar{e}_{2}\to\bar{e}_{2}$
$\bar{e}_{3}\to\bar{e}_{3}$

$B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & -1\end{pmatrix}$ (Se http://dixon.hh.se/getc/LinSys/LinAvbildningar.pdf)

a) Tar $BA$ (det som ska träffa vektorerna först till höger, vektorn är alltså till vänster om $AB$ ). $BA=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 2 & -2\\2 & 1 & 2\\2 & -2 & -1\end{pmatrix}$ (sista raden byter tecken)

b) Tar istället $AB=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 2 & 2\\2 & 1 & -2\\-2 & 2 & -1\end{pmatrix}$ (sista kolonnen byter tecken)

Ex.: Avbildningsmatris för spegling två gånger i plan

Avbildningsmatris för spegling 2 gånger i planet $x-y+z=0$ ges av $AA$ där $A$ är speglingsmatrisen ovan

Lösning

$A$ var symmetrisk så $A=A^{T}$ . $A$ var också ortogonal så $AA^{T}=I$ dvs. $AA=I$ .

Ex.: Bijektivitet

Spegling i $x-y+z=0$ är bijektiv. $AA=I$ så speglingens invers är spegling igen.

Ortogonal projektion på $x-y+z=0$ är inte bijektiv (är varken injektiv eller surjektiv)
Ej injektiv (tänk projektion efter normalen). Ej surjektiv; kan ej träffa punkter utanför planet.
Avbildningsmatrisen ej inverterbar.

Ex.: Basbyte spegling i plan

Spegling i $\pi:x-y+z=0$ . Inför en ny ON-bas $\bar{e}_{1}^\prime$ , $\bar{e}_{2}^\prime$
och $\bar{e}_{3}^\prime$ så att avbildningsmatrisen $A^\prime$ blir så enkel som möjligt.

Lösning

Vi har sett att avbildningen har avbildningsmatris $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -2\\2 & 1 & 2\\-2 & 2 & 1\end{pmatrix}$ i basen $\begin{cases}\bar{e}_{1}=(1,0,0)\\\bar{e}_{2}=(0,1,0)\\\bar{e}_{3}=(0,0,1)\end{cases}$

Välj $\bar{e}_{1}^\prime,\bar{e}_{2}^\prime\parallel\pi$ , ortogonala mot varandra.

$\bar{e}_{1}^{\prime}\to\bar{e}_{1}{}^{\prime}$
$\bar{e}_{2}{}^{\prime}\to\bar{e}_{2}{}^{\prime}$

Den tredje vektorn väljer vi som en normal till $\pi$ med längd 1.
Då gäller $\bar{e}_{3}{}^{\prime}\to-\bar{e}_{3}{}^{\prime}$ .

Vi får då avbildningsmatris $A{}^{\prime}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & -1\end{pmatrix}$

Till exempel duger ( $\bar{n}=(1,-1,1))$ , $\begin{cases}\bar{e}_{1}{}^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)\\\bar{e}_{2}{}^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{6}}(-1,1,2) & \text{Kryssprodukt med normalen och normalisering}\\\bar{e}_{3}{}^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1)\end{cases}$ .

$E{}^{\prime}=\underbrace{\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}\sqrt{3} & \sqrt{3} & 0\\-1 & 1 & 2\\\sqrt{2} & -\sqrt{2} & \sqrt{2}\end{pmatrix}}_{S^{T}}E$

$S=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}\sqrt{3} & -1 & \sqrt{2}\\\sqrt{3} & 1 & -\sqrt{2}\\0 & 2 & \sqrt{2}\end{pmatrix}$

Ortonormalt basbyte $\Rightarrow$ $S$ ortogonal alltså är $S^{-1}=S^{T}$ .

Vi får $A{}^{\prime}=S^{-1}AS\overbrace{=}^{\text{\ensuremath{S} ortogonal}}S^{T}AS=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}\sqrt{3} & \sqrt{3} & 0\\-1 & 1 & 2\\\sqrt{2} & -\sqrt{2} & \sqrt{2}\end{pmatrix}\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 2 & -2\\2 & 1 & 2\\-2 & 2 & 1\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}\sqrt{3} & -1 & \sqrt{2}\\\sqrt{3} & 1 & -\sqrt{2}\\0 & 2 & \sqrt{2}\end{pmatrix}=\frac{1}{18}\begin{pmatrix}18 & 0 & 0\\0 & 18 & 0\\0 & 0 & -18\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & -1\end{pmatrix}$

FMA420: F10 8.3-8.5

Kontrollera linjäritet

Sammansättning och invers

Egenskaper som följer av bijektivitet

Basbyte vid linjära avbildningar

Definitioner

Def.: Definitionsmängd och värdemängd

Def.: Injektiv, surjektiv, bijektiv

Exempel

Ex.: Bestäm värdemängden för ortogonal projektion

Lösning

Ex.: Sammansatta funktioner

Ex.: Sammansatta avbildningar

Ex.: Bestäm avbildningsmatrisen för avbildningarna

Lösning

Ex.: Avbildningsmatris för spegling två gånger i plan

Lösning

Ex.: Bijektivitet

Ex.: Basbyte spegling i plan

Lösning

Lämna ett svar Avbryt svar