Definitioner: Funktion/avbildning, linjär avbildning, isometrisk avbildning

Sats: Isometrisk avbildning-ortogonal avbildningsmatris

Exempel: Funktion/avbildning, avbildningsmatris avbildning, avbildningsmatris spegling, ortogonal projektion, är projektion på plan som ej går genom origo linjärt? Rang och nolldimension projektionsmatris, rang och nolldimension speglingsmatris, rotation

Föreläsningsanteckningarna

Definitioner

Def.: Funktion/avbildning

Låt $latex M_{1}$ och $latex M_{2}$ vara mängder. En funktion eller avbildning $latex F:M_{1}\to M_{2}$ är en regel som till varje $latex x\in M_{1}$ ordnar precis ett element $latex y\in M_{2}$. Vi skriver $latex y=F(x)$.

Def.: Linjär avbildning

Avbildningen $latex F:V_{1}\to V_{2}$ kallas linjär om

• $latex F(\bar{u}_{1}+\bar{u}_{2})=F(\bar{u}_{1})+F(\bar{u}_{2})\quad\forall u_{1},u_{2}\in v_{1}$
• $latex F(\lambda\bar{u})=\lambda F(\bar{u})\quad,\forall\lambda\in\mathbb{R}\text{ och }\forall\bar{u}\in V_{1}$

Def.: Isometrisk avbildning

En (linjär) avbildning $latex F$ är isometrisk om [latex]\left|F(\bar{u})\right|=\left|\bar{u}\right|[/latex] för alla $latex \bar{u}$ i definitionsmängden.

Satser

Sats: Isometrisk avbildning-ortogonal avbildningsmatris

En linjär avbildning är isometrisk $latex \Leftrightarrow$ dess avbildningsmatris är ortogonal. ($latex A$ ortogonal $latex \Leftrightarrow$ kolonnvektorerna i $latex A$ utgör ON-bas $latex \Leftrightarrow AA^{T}=I\Leftrightarrow A^{T}A=I\Leftrightarrow A^{-1}=A^{T}$).

Exempel

Ex.: Funktion/avbildning

Har sett $latex f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ t.ex $latex f(x)=\sin(x),x\in\mathbb{R}$.

Ex.: Avbildningsmatris avbildning

Låt $latex F:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$ vara ortogonal projektion i planet $latex \pi:x-y+z=0$. Vad finns det för samband mellan koordinaterna för projektionen $latex Q:(y_{1},y_{2},y_{3})$ och den projicerade punkten $latex P:(x_{1},x_{2},x_{3})$?

Lösning

OBS! $latex O\in\pi$

1. $latex \vec{OQ}=(y_{1},y_{2},y_{3})$
2. $latex \vec{OQ}=\vec{OP}-\vec{QP}$
3. $latex \vec{OQ}=\vec{OP}-\frac{\vec{OP}\cdot\bar{n}}{\bar{n}\cdot\bar{n}}\bar{n}$
4. $latex \vec{OQ}=\frac{1}{3}(2x_{1}+x_{2}-x_{3},\, x_{1}+2x_{2}+x_{3},\,-x_{1}+x_{2}+2x_{3})$

Kan också skrivas som ett matrissamband $latex \begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2x_{1}+x_{2}-x_{3}\\x_{1}+2x_{2}+x_{3}\\-x_{1}+x_{2}+2x_{3}\end{pmatrix}=\underbrace{\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & 1 & -1\\1 & 2 & 1\\-1 & 1 & 2\end{pmatrix}}_{A:\text{Avbildningsmatrisen for avbildningen}}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}$

Här är $latex A^{2}=A$. Varför? Det är en projicering, en punkt som projiceras
i sitt plan blir samma punkt.

Ex.: Avbildningsmatris spegling

Spegling med samma punkt som ovan i samma plan.

Lösning

$latex \begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}=\underbrace{\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 2 & -2\\2 & 1 & 2\\-2 & 2 & 1\end{pmatrix}}_{A;\text{avbildningsmatris for spegling i \ensuremath{\pi}}}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}$

Notering: $latex A^{2}=I$

Ex.: Ortogonal projektion

Ortogonal projektion på $latex \pi:x-y+z-1=0$.

Lösning

OBS går ej genom origo!

Samma räkningar ger: $latex \begin{pmatrix} y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}=\underbrace{\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & 1 & -2\\1 & 2 & 1\\-1 & 1 & 2\end{pmatrix}}_{A}\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}+\underbrace{\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}}_{\text{Uppstar p.g.a. ej gnm origo! \ensuremath{\parallel\bar{n}}}}$

Ex.: Är projektion på plan som ej går genom origo linjärt?

Använder avbildningen ovan.

Lösning

$latex F(\overline{\underline{X}})=A\overline{\underline{X}}+\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$

 

$latex F(\overline{\underline{X}}_{1}+\overline{\underline{X}}_{2})=A(\overline{\underline{X}}_{1}+\overline{\underline{X}}_{2})+\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}=A\overline{\underline{X}}_{1}+A\overline{\underline{X}}_{2}+\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$

 

$latex F(\overline{\underline{X}}_{1})+F(\overline{\underline{X}}_{2})=A\overline{\underline{X}}_{1}+\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}+A\overline{\underline{X}}_{2}+\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\-\\1\end{pmatrix}=F(\overline{\underline{X}}_{1}+\overline{\underline{X}}_{2})+\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$

Så $latex F$ ej linjär!

Ex.:Rang och nolldimension projektionsmatris

Projektionsmatrisen: $latex \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & 1 & -1\\1 & 2 & 1\\-1 & 1 & 2\end{pmatrix}$

Lösning

Radreducera…

$latex \text{rang}=2$ och $latex \text{nolldim}=1$.
Allt parallellt med normalen avbildas på nollan. Vi projicerar på planet som är tvådimensionellt därför änr rangen två.

Ex.: Rang och nolldimension speglingsmatris

Speglingsmatrisen $latex \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 2 & -2\\2 & 1 & 2\\-2 & 2 & 1\end{pmatrix}$

Lösning

Radreducera…
$latex \text{rang}=3$. Bilden är tredimensionell så rangen är tre. $latex \text{nolldim}=0$

Ex.: Rotation

Bestäm avbildningsmatrisen $latex A$ för rotation mot $latex \frac{\pi}{2}$ med vinkeln $latex \theta$ för  $latex \bar{e}_{1}\parallel x-axeln$.

Lösning

$latex F(\bar{e}_{1})=(\cos(\theta),\sin(\theta))$
$latex F(\bar{e}_{2})=(-\sin(\theta),\cos(\theta))$
$latex A=\begin{pmatrix}\cos(\theta) & -\sin(\theta)\\\sin(\theta) & \cos(\theta)\end{pmatrix}$