Vektorer, riktad sträcka, ekvivalens för riktade sträckor, ekvivalensklass, nollvektor, addition av vektorer, multiplikation av skalär och vektor, räkneregler för addition, räkneregler för multiplikation med skalär, subtraktion av vektorer, mittpunktsformeln, parallellitet, linjärkombination av vektorer, bas och koordinater, linjärt beroende/oberoende, bassatsen.

PDF-version

2.1 Vektorbegreppet

Vektor/riktad sträcka

• Längd
• Riktning
• (För riktad sträcka krävs även fotpunkt)

Ekvivalensklass

• En (geometrisk) vektor är en ekvivalensklass av riktade sträckor

Nollvektorn

• Vektor med längd 0, representeras av $latex \bar{AA} $, dvs. startar och slutar i samma punkt.

Räkneoperationer

Addition av vektorer

• ”Lägg den andra vektorn i slutet av den första vektorn och dra diagonalen mellan första vektorns startpunkt och andra vektorns slutpunkt”

Multiplikation av skalär och vektor

• Längden blir $latex n $ gånger kortare/längre. Vid negativt $latex n $: riktning förändras.

Räkneregler: För alla vektorer $latex \bar{u},\bar{v}$ och $latex \bar{w} $ och alla skalärer $latex \lambda$ och $latex \mu$ gäller:

Addition

• A0:$latex \bar{u} + \bar{v} $ är en vektor
• A1:$latex (\bar{u}+\bar{v})+\bar{w}=\bar{u}+(\bar{v}+\bar{w})$
• A2: $latex \bar{u}+\bar{v}=\bar{v}+\bar{u}$
• A3: Det finns en vektor $latex \bar{0}$ så att $latex \bar{0}+\bar{u}=\bar{u}$ för alla $latex \bar{u}$.
• A4: För alla $latex \bar{u}$ finns $latex \bar{v}$ så att $latex \bar{u}+\bar{v}=\bar{0}$.

Multiplikation

• M0: $latex \lambda \cdot \bar{u}$ är en vektor.
• M1: $latex \lambda (\mu \cdot \bar{u})=(\lambda \cdot \mu) \bar{u} $
• M2: $latex ( \lambda +\mu )\bar{u} =\lambda \bar{u} +\mu \bar{u} $
• M3: $latex \lambda (\bar{u} +\bar{v} )=\lambda \bar{u} +\lambda \bar{v} $
  M4: $latex 1\cdot \bar{u} =\bar{u} $

Subtraktion[latex]2\bar{u}=\bar{u}+\bar{u}[/latex]

Mittpunktsformeln: [latex]\bar{OM}=\frac{1}{2}(\bar{OA}+\bar{OB})[/latex] ”$latex \bar{OM} $ via punkten A”.

Parallellitet: $latex \bar{AB}\parallel\bar{CD}\Leftrightarrow\bar{CD}=\lambda\bar{\cdot AB},\lambda\in\mathbb{R}$

2.3 Bas och koordinater

Linjärkombination av vektorer

Ett uttryck på formen $latex \lambda_{1}\bar{u_{1}}+\lambda_{2}\bar{u_{2}}+\ldots+\lambda_{p}\bar{u_{p}}$ kallas en linjärkombination av $latex \bar{u_{1}},\bar{u_{2}},\ldots,\bar{u_{p}}$

Definition av bas samt koordinater

En uppsättning vektorer $latex \left\{ \bar{e_{1}},\bar{e_{2}},\ldots\bar{,e_{p}}\right\} $ utgör en bas (för linjen/planet/rummet/vektorrum) om varje vektor $latex \bar{u}$ kan skrivas entydigt som en linjärkombination av $latex \bar{e_{1}},\bar{e_{2}},\ldots,\bar{e_{p}}$. Dvs $latex \bar{u}=\lambda_{1}\bar{e_{1}}+\lambda_{2}+\bar{e_{2}}+\ldots+\lambda_{p}\bar{e_{p}}$ där $latex \lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{p}$ är entydigt bestämda av $latex \bar{u}$. Talen $latex \lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{p}$ kallas koordinater för $latex \bar{u}$ i basen $latex \bar{e_{1}},\bar{e_{2}},\ldots\bar{e_{p}}$. Vi skriver $latex \bar{u}=(\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{p})$.

1. Linjen: Varje vektor $latex \bar{e_1}\neq\bar{0}$ utgör en bas för linjen.
2. Planet: Två icke parallella vektorer [latex](\bar{e_1},\bar{e_2})[/latex] utgör en bas för planet.
3. Rummet: Tre vektorer i rummet $latex (\bar{e_{1}},\bar{e_{2}},\bar{e_{3}})$ som inte ligger i samma plan utgör en bas i rummet.

2.4 Linjärt beroende/oberoende

Vektorerna $latex \bar{u_{1}},\ldots\bar{u_{p}}$ är linjärt beroende om någon av dem är en linjär kombination av dem andra. Om inte så är de linjärt oberoende. (m.a.o. de pekar inte i lika många riktningar som de till antalet är)

Linjärt beroende

$latex \bar{u_{1}},\bar{u_{2}},\ldots\bar{u_{p}}$ är linjärt beroende $latex \Leftrightarrow$ Ekvationen $latex \lambda_{1}\bar{u_{1}}+\lambda_{2}\bar{u_{2}}+\ldots+\lambda_{p}\bar{u_{p}}=\bar{0}$ har en lösning där inte alla $latex \lambda$ =0.

Linjärt oberoende

$latex \bar{u_{1}},\bar{u_{2}},\ldots\bar{u_{p}}$ är linjärt oberoende $latex \Leftrightarrow$ Ekvationen $latex \lambda_{1}\bar{u_{1}}+\lambda_{2}\bar{u_{2}}+\ldots+\lambda_{p}\bar{u_{p}}=\bar{0}$ har endast lösningen $latex \lambda_{1}=\lambda_{2}=\ldots=\lambda_{p}=0$.

Bassatsen

• Två vektorer i planet utgör en bas för planet $latex \Leftrightarrow $ de är linjärt oberoende.
• Tre vektorer i rummet utgör en bas för rummet $latex \Leftrightarrow $ de är linjärt oberoende
• Fler än två vektorer i planet är alltid linjärt beroende (den tredje går att utrycka som en linjär kombination av de andra två)
• Fler än tre vektorer i rummet är alltid linjärt beroende (den fjärde går att utrycka genom de andra tre)