Jobbar endast med $latex (n\times n)$-matriser

Metod determinant
Räkneregler determinant
Volym och area
Huvudsatsen
Lösning av $latex A\overline{\underline{X}}=Y$

Definition: Determinant

Exempel: Determinant 3×3-matris, utveckling efter 2. kolonn, parallella kolonner/rader, area av triangel, determinant 4×4-matris, för vilka $latex a$ saknar systemet lösning?

Föreläsningsanteckningarna

Metod determinant

1. Multiplicera radvis/kolonnvis för att få så många nollor som möjligt.
2. Utveckla efter raden/kolonnen med färst nollor.
   • Följ hela raden/kolonnen.
   • Varannan +/-. Börjar högst upp till vänster med +.
   • Utveckla i underdeterminanter (av storlek $latex (n-1)\times(n-1)$) genom att stryka raden/kolonnen som $latex a_{mn}$ ”ingår i”.
   • Multiplicera därefter med $latex a_{mn}$.

Räkneregler determinant

a) Byt plats på två rader och determinanten byter tecken.
b) Multiplicera en rad med ett tal och hela determinanten multipliceras med det talet.
c) Lägg till en multipel av en rad till en annan och determinantens värde är oförändrad.
d) $latex \det I=1$.
e) $latex \det A^{T}=\det A$ (det går alltså lika bra att beräkna determinanten för transponatet).
f) $latex \det(AB)=\det A\cdot\det B$
g) (den viktigaste egenskapen) $latex \det A\neq0\Rightarrow$ $latex A$ är inverterbar
h) Om $latex A$ är inverterbar så är $latex \det A^{-1}=\frac{1}{\det A}$
i) Om $latex A$ är ortogonal så är $latex \det A=-1$ eller $latex \det A=1$

Volym och area

I $latex \mathbb{R}^{3}$
[latex]
A_{1}=\begin{pmatrix}a_{11}\\
a_{21}\\
a_{31}
\end{pmatrix}[/latex], [latex]
A_{2}=\begin{pmatrix}a_{12}\\
a_{22}\\
a_{32}
\end{pmatrix}[/latex], [latex]
A_{3}=\begin{pmatrix}a_{13}\\
a_{23}\\
a_{33}
\end{pmatrix}
[/latex],
[latex]
A=\begin{pmatrix}A_{1} & A_{2} & A_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix}
[/latex]

Då är $latex \det A=A_{1}\cdot(A_{2}\times A_{3})=$ volymen(med tecken) av den parallellepiped som spänns upp av $latex A_{1}$, $latex A_{2}$ och $latex A_{3}$.

I $latex \mathbb{R}^{2}$:
Volymen av parallellepipeden = basarean (med tecken), dvs. arean av parallellogrammen som spänns upp av vektorerna ($latex a_{11},a_{21})$ och $latex (a_{12},a_{22})$ =
$latex \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & 0\\a_{21} & a_{22} & 0\\0 & 0 & 1\end{vmatrix}\underbrace{=}_{\text{utveckling efter sista raden}}1\cdot\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}$

Huvudsatsen

$latex A$ är en $latex n\times n$-matris. Då är följande ekvivalent:
a) Kolonnvektorerna i $latex A$ utgör en bas i $latex \mathbb{R}^{n}$
b) Radvektorerna i $latex A$ utgör en bas i $latex \mathbb{R}^{n}$
c) $latex A\overline{\underline{X}}=0\Rightarrow\overline{\underline{X}}=0$
d) $latex A\overline{\underline{X}}=\overline{\underline{Y}}$ är lösbart (entydigt) för alla $latex \overline{\underline{Y}}\in\mathbb{R}^{n}$
e) $latex A$ är inverterbar
f) Linjära avbildningar med $latex A$ som avbildningsmatris är bijektiv (både surjektiv och injektiv)
g) $latex \det A\neq0$

Lösning av $latex A\overline{\underline{X}}=Y$

	$latex Y=0$	$latex Y\neq 0$
$latex \det A=0$	Parameterlösning	Antingen parameterlösning eller ingen lösning
$latex \det A \neq 0$	Endast $latex \overline{\underline{X}}=0$	Endast $latex \overline{\underline{X}}=A^{-1}Y$

Created with the HTML Table Generator

 

Definitioner

Def.: Determinanat

$latex \mathbf{n=1}$, en matris som endast är ett tal.
$latex A=(a_{11})$. $latex \text{det }A=a_{11}$.

$latex \mathbf{n=2}$
$latex \det\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}=a_{11}\underbrace{\det(a_{22})}_{\text{stryk forsta raden/kolonnen}}-a_{12}\underbrace{\det(a_{21})}_{\text{stryk forsta raden, andra kolonnen }}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

$latex \mathbf{n=3}$
[latex] \det\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix}=a_{11}\det\begin{pmatrix}a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix}-a_{12}\det\begin{pmatrix}a_{21} & a_{23}\\
a_{31} & a_{33}
\end{pmatrix}+a_{13}\det\begin{pmatrix}a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}
\end{pmatrix}[/latex]

Exempel

Ex.: Determinant för 3×3-matris

[latex]
\begin{vmatrix}\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{array}\end{vmatrix}=\det\begin{pmatrix}\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{array}\end{pmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}5 & 6\\
8 & 9
\end{vmatrix}-2\cdot\begin{vmatrix}4 & 6\\
7 & 9
\end{vmatrix}+3\cdot\begin{vmatrix}4 & 5\\
7 & 8
\end{vmatrix}=[/latex][latex]
1\cdot(5\cdot9-6\cdot8)-2\cdot(4\cdot9-6\cdot7)+3\cdot(4\cdot8-5\cdot7)=0
[/latex]

Ex.: Utveckling efter 2. kolonn

[latex]
\begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{vmatrix}=-2\begin{vmatrix}4 & 6\\
7 & 9
\end{vmatrix}+5\begin{vmatrix}1 & 3\\
7 & 9
\end{vmatrix}-8\begin{vmatrix}1 & 3\\
4 & 6
\end{vmatrix}=0
[/latex]

Ex.: Parallella kolonner/rader

[latex]
\begin{vmatrix}1 & 2 & 6\\
10 & 5 & 15\\
4 & -10 & -30
\end{vmatrix}=0[/latex]
Eftersom [latex]
\begin{pmatrix}\begin{array}{r}
6\\
15\\
-30
\end{array}\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}\begin{array}{r}
2\\
5\\
-10
\end{array}\end{pmatrix}[/latex]

Ex.: Area av en triangel

Bestäm arean av triangel med hörn i $latex P_{0}:(1,2)$, $latex P_{1}:(2,4)$, $latex P_{2}:(3,1)$

Lösning

Determinanten ger volymen av en parallellepiped. Triangelarean kan ses som halva volymen av parallellepipeden.
Inför två vektorer $latex \bar{u}_{1}=\vec{P_{0}P_{1}}$ och $latex \bar{u}_{2}=\vec{P_{0}P_{2}}$.
Triangelarean : $latex \frac{1}{2}\begin{vmatrix}1 & 2\\2 & -1 \end{vmatrix}=-\frac{5}{2}$ så arean är $latex \frac{5}{2}$ a.e.

Ex.: Determinant 4×4-matris

Beräkna determinanten för
[latex]
A=\begin{pmatrix}\begin{array}{rrrr}
5 & 8 & 3 & 9\\
5 & 4 & 1 & 6\\
7 & 5 & 1 & 3\\
2 & 1 & 0 & 1
\end{array}\end{pmatrix}
[/latex]

Lösning

Metod: “Leta efter nollor”. Sista raden/tredje kolonnen är lämplig att utveckla från:

[latex]
\begin{vmatrix}\begin{array}{rrrr}
5 & 8 & 3 & 9\\
5 & 4 & 1 & 6\\
7 & 5 & 1 & 3\\
2 & 1 & 0 & 1
\end{array}\end{vmatrix}\underbrace{=}_{c)}
\begin{vmatrix}\begin{array}{rrrr}
-13 & -1 & 3 & 9\\
-7 & -2 & 1 & 6\\
1 & 2 & 1 & 3\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\end{vmatrix}\underbrace{=}_{\text{utv. 4e raden.}}
[/latex]

[latex]
1\begin{vmatrix}-13 & -1 & 3\\
-7 & -2 & 1\\
1 & 2 & 1
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-16 & -7 & 0\\
-8 & -4 & 0\\
1 & 2 & 1
\end{vmatrix}\underbrace{=}_{\text{Utv 3e kol.}}
[/latex]

[latex]
1\begin{vmatrix}-16 & 7\\
-8 & -4
\end{vmatrix}=
8
[/latex]

Not. Matriserna är inverterbara.

Ex.: För vilka $latex a$ saknar systemet lösning?

För vilka $latex a$ saknar systemet $latex A\overline{\underline{X}}=Y$ lösning då [latex]A=\begin{pmatrix}\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 1\\
a & -1 & 0\\
3 & 0 & a
\end{array}\end{pmatrix}[/latex], $latex Y=\begin{pmatrix}a\\0\\1\end{pmatrix}$?

Lösning

$latex Y\neq\bar{0}$.
Krav: $latex \det A=0$,

Beräkning av determinanten
[latex]\det A=\begin{vmatrix}1 & 2 & 1\\
a & -1 & 0\\
3 & 0 & a
\end{vmatrix}\underbrace{=}_{\text{Kolonn 3}}1\begin{vmatrix}a & -1\\
3 & 0
\end{vmatrix}-0\begin{vmatrix}. & .\\
. & .
\end{vmatrix}+a\begin{vmatrix}1 & 2\\
a & -1
\end{vmatrix}=3+a(-1-2a)=-2\left(a^{2}+\frac{1}{2}a-\frac{3}{2}\right)=-2\left((a-1)(a+\frac{3}{2})\right)[/latex]
så $latex \det A=0\Leftrightarrow a=1$ eller $latex a=\frac{-3}{2}$

Behöver kontrollera om det är ingen lösning eller parameterlösning
För $latex a=1$ gäller:

[latex]\left(\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 1\\
1 & -1 & 0\\
3 & 0 & 1
\end{array}\right.\left|\begin{array}{c}
1\\
0\\
1
\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 1\\
0 & -3 & -1\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right.\left|\begin{array}{c}
1\\
-1\\
0
\end{array}\right)[/latex] vi får parameterlösning, alltså är det ingen lösning på uppgiften.

För $latex a=\frac{-3}{2}$ får vi:

[latex]
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 1\\
\frac{-3}{2} & -1 & 0\\
3 & 0 & \frac{-3}{2}
\end{array}\right.\left|\begin{array}{c}
\frac{-3}{2}\\
0\\
1
\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 1\\
0 & 2 & \frac{3}{2}\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right.\left|\begin{array}{c}
\frac{-3}{2}\\
\frac{-9}{4}\\
\frac{-5}{4}
\end{array}\right)[/latex]
$latex 0\neq\frac{-5}{4}$ lösning saknas alltså.

Svar: Systemet saknar lösning för $latex a=-\frac{3}{2}$.