FMA420: F8 2.5, 7.6-7.7

Basbytesmatris, ortogonala matriser, metod rang och nolldimension,

Definitioner: kolonnrummet, rangen, nollrummet, nolldimensionen

Exempel: Basbyte vektor, är matrisen ortogonal? Ortogonal basbytesmatris, bestäm inversen av matris, matrismultiplikation

Föreläsningsanteckningarna

Basbytesmatris

”Prim” anger den nya basen.

En bas i \mathbb{R}^{2}: \begin{cases}\bar{e}_{1}^{\prime}=s_{11}\bar{e}_{1}+s_{21}\bar{e}_{2}\\\bar{e}_{2}^{\prime}=s_{12}\bar{e}_{1}+s_{22}\bar{e}_{2}\end{cases}

En godtycklig vektor har koordinaterna \bar{u}=x_{1}\bar{e}_{1}+x_{1}\bar{e}_{2}=x_{1}^{\prime}\bar{e}_{1}^{\prime}+x_{2}^{\prime}\bar{e}_{2}^{\prime}

Skapar en matris där kolonnvektorerna är \bar{e}_{1}^{\prime} och \bar{e}_{2}^{\prime}: S=\begin{pmatrix}| & |\\\bar{e}_{1}^{\prime} & \bar{e}_{2}^{\prime}\\| & |\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}s_{11} & s_{12}\\s_{21} & s_{22}\end{pmatrix}

\overline{\underline{X}}=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}, \overline{\underline{X}}=\begin{pmatrix}x_{1}^{\prime}\\x_{2}^{\prime}\end{pmatrix}

\overline{\underline{X}}=S\overline{\underline{X}}^{\prime}

Ortogonala matriser

Definition ortogonal matris

En matris (n\times n) är ortogonal precis då dess kolonnvektorer utgör en ortonormerad bas i \mathbb{R}^{n}.

”Utgör en ortonormerad bas” innebär:

  • Varje kolonnvektor har längd ett (|n_1|=1 )
  • Kolonnvektorerna är parvis ortogonala (n_1\cdot n_2=0 )

Sats ortogonal matris

Följande är ekvivalent:
i) Matrisen A är ortogonal
ii) Kolonnvektorerna i A är en ON-bas
iii) Radvekorerna i A är en ON-bas
iv) A^TA=I
v) AA^T=I
vi) A^{-1}=A^T

Metod för att ta fram rang respektive nolldimension

  1. Radreducera (gaussa) A till G.
  2. Räkna antalet pivotelement, som ger \text{rang }A (=\text{rang } G)
  3. Antalet parametrar till A\overline{\underline{X}}=0, ger nolldimensionen till A

Definitioner

Kolonnrummet

För matrisen A=\begin{pmatrix}A_{1} & A_{2} & \dots & A_{n}\end{pmatrix}
definierar vi kolonnrummet som mängden av alla linjärkombinationer
av A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}:

A\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots\\x_{n}\end{pmatrix}=x_{1}A_{1}+x_{2}A_{2}+\dots+x_{n}A_{n}. Så kolonnrummet till A består av alla Y sådana att A\overline{\underline{X}}=Y
har lösning.

Rangen

Rangen låter vi vara maximala antalet linjärt oberoende vektorer bland A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}. (Dvs. antalet som ej är \parallel.) (Dvs. antalet pivotelement)
Betecknas \text{rang }A.

Nollrummet

Nollrummet för A är alla \overline{\underline{X}} sådana att A\overline{\underline{X}}=0.

Nolldimensionen

Maximalt antal linjärt oberoende lösningar till A\overline{\underline{X}}=0 kallas nolldimensionen. (Antalet parametrar, t.ex. s, t ger 2)

Betecknas \text{nolldim }A.

Exempel

Ex.: Basbyte vektor

Har basen \bar{e}_{1},\bar{e}_{2} i planet. Varje vektor kan skrivas i flera baser. En ny bas \bar{e}_{1}^{\prime}, \bar{e}_{2}^{\prime} införs enligt:

\begin{cases}\bar{e}_{1}^{\prime}=\bar{e}_{1}+3\bar{e}_{2}\\\bar{e}_{2}^{\prime}=\bar{4e}_{1}+2\bar{e}_{2}\end{cases}

Kontrollera att ovanstående är en bas genom att: \lambda_{1}\bar{e}_{1}^{\prime}+\lambda_{2}\bar{e}_{2}^{\prime}=\bar{0}\Rightarrow\lambda_{1}=\lambda_{2}=0

\bar{u}=x_{1}\bar{e}_{1}+x_{2}\bar{e}_{2}=x_{1}^{\prime}\bar{e}_{1}^{\prime}+x_{2}^{\prime}\bar{e}_{2}^{\prime}.

Vilket samband gäller mellan x_{1}, x_{2} och x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}?

Lösning

\bar{u}=x_{1}^{\prime}(\underbrace{\bar{e}_{1}+3\bar{e}_{1}}_{\bar{e}_{1}^{\prime}})+x_{2}^{\prime}(\underbrace{4\bar{e}_{1}+2\bar{e}_{2}}_{\bar{e}_{2}^{\prime}})=(\underbrace{x_{1}^{\prime}+4x_{2}^{\prime}}_{x_{1}})\bar{e}_{1}+(\underbrace{3x_{1}^{\prime}+2x_{2}^{\prime}}_{x_{2}})\bar{e}_{2}

Alltså: \begin{cases}x_{1}=x_{1}^{\prime}+4x_{2}^{\prime}\\x_{2}=3x_{1}^{\prime}+2x_{2}^{\prime}\end{cases}

Alternativ lösning

Vi skriver om ovanstående med matriser.

E=\begin{pmatrix}\bar{e}_{1}\\\bar{e}_{2} \end{pmatrix}, E^\prime=\begin{pmatrix}\bar{e}_{1}^{\prime}\\\bar{e}_{2}^{\prime}\end{pmatrix}

\overline{\underline{X}}=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}, \overline{\underline{X}}=\begin{pmatrix}x_{1}^{\prime}\\x_{2}^{\prime}\end{pmatrix}

Om E^\prime=\begin{pmatrix}1 & 3\\4 & 2\end{pmatrix}E\overline{\underline{X}}=\underbrace{\begin{pmatrix}1 & 4\\3 & 2\end{pmatrix}}_{S\text{(basbytesmatris)}}\overline{\underline{X}}^{\prime}

Ex.: Är matrisen ortogonal?

Visa att matrisen A=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}3 & 4\\-4 & 3\end{pmatrix} är ortogonal

Lösning

A=(A_{1},A_{2})

A_{1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix} och A_{2}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}

\left|A_{1}\right|^{2}=1\Rightarrow\left|A_{1}\right|^{2}=1: A_{1}\cdot A_{1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}=\frac{1}{25}(3\cdot3+(-4)\cdot(-4))=1

A_{1}\cdot A_{1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}=\frac{1}{25}(3\cdot4+(-4)\cdot3)=0

A_{1},A_{2} utgör ON-bas i \mathbb{R}^{2}A är ortogonal.

Ex.: Ortogonal basbytesmatris

Om basbytesmatrisen S är ortogonal så gäller:

E^{\prime}=S^{T}E\Rightarrow\overline{\underline{X}}^{\prime}=S^{-1}\overline{\underline{X}}=S^{T}\overline{\underline{X}}

”De nya koordinaterna fås genom att ta S-transponat multiplicerat med de gamla koordinaterna”

Ex.: Bestäm inversen av matris

Bestäm inversen av A=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & 2 & 1\\-2 & 1 & 2\\1 & -2 & 2\end{pmatrix}.

Lösning

Om A ej är ortogonal (som vanlig, gaussa): \left[A\right|\left.I\right]\cdots\left[I\right|\left.A^{-1}\right].

Snabblösning: Kontrollera om A är en ortogonal matris: \left|A_{1}\right|=\left|A_{2}\right|=\left|A_{3}\right|=1 och A_{1}\cdot A_{2}=A_{1}\cdot A_{3}=A_{2}\cdot A_{3}=0.

A ortogonal så A^{-1}=A^{T}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & -2 & 1\\2 & 1 & -2\\1 & 2 & 2\end{pmatrix}

Ex.: Matrismultiplikation

A\overline{\underline{X}}=Y
\underbrace{\left(\begin{array}{ccccc}1 & -2 & -1 & 0 & 1\\0 & 0 & -1 & 1 & 1\\-1 & 2 & 0 & 2 & 2\\0 & 0 & 1 & 2 & 5\end{array}\right|\left.\begin{array}{c}0\\-3\\-4\\0\end{array}\right)}_{A}, \overline{\underline{X}}=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{5}\end{pmatrix}.

\sim\left(\begin{array}{ccccc}\boxed{1} & -2 & -1 & 0 & 1\\0 & 0 & \boxed{1} & -1 & -1\\0 & 0 & 0 & \boxed{1} & 2\\0 & \underbrace{0}_{x_{2}=s} & 0 & 0 & \underbrace{0}_{x_{5}=t}\end{array}\right|\left.\begin{array}{c}0\\3\\-1\\0\end{array}\right)

(Tre stycken pivotelement).

  • x_{5}=t
  • x_{4}+2x_{5}=-1\Leftrightarrow x_{4}=-1-2x_{5}=-1-2t
  • x_{3}-x_{4}-x_{5}=3\Leftrightarrow x_{3}=2-t
  • x_{2}=s
  • x_{1}-2x_{2}-x_{3}+x_{5}=0\Leftrightarrow x_{1}=2+2s-2t

\overline{\underline{X}}=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{5}\end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix}2\\0\\2\\-1\\0\end{pmatrix}}_{\overline{\underline{X}}_{p}}+s\underbrace{\begin{pmatrix}2\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}_{\overline{\underline{X}}_{h_{1}}}+t\underbrace{\begin{pmatrix}-2\\0\\-1\\-2\\1\end{pmatrix}}_{\overline{\underline{X}}_{h_{2}}},s,t\in\mathbb{R}

\overline{\underline{X}}_{p} är en lösning till A\overline{\underline{X}}=Y.
s\cdot\overline{\underline{X}}_{h_{1}}+t\cdot\overline{\underline{X}}_{h_{2}} ger alla lösningar till A\overline{\underline{X}}=0.

Vi radreducerade A och fick G:

G=\begin{pmatrix}\boxed{1} & -2 & -1 & 0 & 1\\0 & 0 & \boxed{1} & -1 & -1\\0 & 0 & 0 & \boxed{1} & 2\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.

Antalet parametrar är antalet kolonner-antal pivotelement.
5-3=\boxed{2}

Kommentera

E-postadressen publiceras inte. Obligatoriska fält är märkta *

Denna webbplats använder Akismet för att minska skräppost. Lär dig hur din kommentardata bearbetas.