Basbytesmatris, ortogonala matriser, metod rang och nolldimension,

Definitioner: kolonnrummet, rangen, nollrummet, nolldimensionen

Exempel: Basbyte vektor, är matrisen ortogonal? Ortogonal basbytesmatris, bestäm inversen av matris, matrismultiplikation

Basbytesmatris

”Prim” anger den nya basen.

En bas i $\mathbb{R}^{2}$ : $\begin{cases}\bar{e}_{1}^{\prime}=s_{11}\bar{e}_{1}+s_{21}\bar{e}_{2}\\\bar{e}_{2}^{\prime}=s_{12}\bar{e}_{1}+s_{22}\bar{e}_{2}\end{cases}$

En godtycklig vektor har koordinaterna $\bar{u}=x_{1}\bar{e}_{1}+x_{1}\bar{e}_{2}=x_{1}^{\prime}\bar{e}_{1}^{\prime}+x_{2}^{\prime}\bar{e}_{2}^{\prime}$

Skapar en matris där kolonnvektorerna är $\bar{e}_{1}^{\prime}$ och $\bar{e}_{2}^{\prime}$ : $S=\begin{pmatrix}| & |\\\bar{e}_{1}^{\prime} & \bar{e}_{2}^{\prime}\\| & |\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}s_{11} & s_{12}\\s_{21} & s_{22}\end{pmatrix}$

$\overline{\underline{X}}=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ , $\overline{\underline{X}}=\begin{pmatrix}x_{1}^{\prime}\\x_{2}^{\prime}\end{pmatrix}$

$\overline{\underline{X}}=S\overline{\underline{X}}^{\prime}$

Ortogonala matriser

Definition ortogonal matris

En matris ( $n\times n$ ) är ortogonal precis då dess kolonnvektorer utgör en ortonormerad bas i $\mathbb{R}^{n}$ .

”Utgör en ortonormerad bas” innebär:

Varje kolonnvektor har längd ett ( $|n_1|=1$ )
Kolonnvektorerna är parvis ortogonala ( $n_1\cdot n_2=0$ )

Sats ortogonal matris

Följande är ekvivalent:
i) Matrisen $A$ är ortogonal
ii) Kolonnvektorerna i $A$ är en ON-bas
iii) Radvekorerna i $A$ är en ON-bas
iv) $A^TA=I$
v) $AA^T=I$
vi) $A^{-1}=A^T$

Metod för att ta fram rang respektive nolldimension

Radreducera (gaussa) $A$ till $G$ .
Räkna antalet pivotelement, som ger $\text{rang }A$ ( $=\text{rang } G$ )
Antalet parametrar till $A\overline{\underline{X}}=0$ , ger nolldimensionen till $A$

Definitioner

Kolonnrummet

För matrisen $A=\begin{pmatrix}A_{1} & A_{2} & \dots & A_{n}\end{pmatrix}$
definierar vi kolonnrummet som mängden av alla linjärkombinationer
av $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ :

$A\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots\\x_{n}\end{pmatrix}=x_{1}A_{1}+x_{2}A_{2}+\dots+x_{n}A_{n}$ . Så kolonnrummet till $A$ består av alla $Y$ sådana att $A\overline{\underline{X}}=Y$
har lösning.

Rangen

Rangen låter vi vara maximala antalet linjärt oberoende vektorer bland $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ . (Dvs. antalet som ej är $\parallel$ .) (Dvs. antalet pivotelement)
Betecknas $\text{rang }A$ .

Nollrummet

Nollrummet för $A$ är alla $\overline{\underline{X}}$ sådana att $A\overline{\underline{X}}=0$ .

Nolldimensionen

Maximalt antal linjärt oberoende lösningar till $A\overline{\underline{X}}=0$ kallas nolldimensionen. (Antalet parametrar, t.ex. $s$ , $t$ ger 2)

Betecknas $\text{nolldim }A$ .

Exempel

Ex.: Basbyte vektor

Har basen $\bar{e}_{1},\bar{e}_{2}$ i planet. Varje vektor kan skrivas i flera baser. En ny bas $\bar{e}_{1}^{\prime}$ , $\bar{e}_{2}^{\prime}$ införs enligt:

$\begin{cases}\bar{e}_{1}^{\prime}=\bar{e}_{1}+3\bar{e}_{2}\\\bar{e}_{2}^{\prime}=\bar{4e}_{1}+2\bar{e}_{2}\end{cases}$

Kontrollera att ovanstående är en bas genom att: $\lambda_{1}\bar{e}_{1}^{\prime}+\lambda_{2}\bar{e}_{2}^{\prime}=\bar{0}\Rightarrow\lambda_{1}=\lambda_{2}=0$

$\bar{u}=x_{1}\bar{e}_{1}+x_{2}\bar{e}_{2}=x_{1}^{\prime}\bar{e}_{1}^{\prime}+x_{2}^{\prime}\bar{e}_{2}^{\prime}$ .

Vilket samband gäller mellan $x_{1}$ , $x_{2}$ och $x_{1}^{\prime}$ , $x_{2}^{\prime}$ ?

Lösning

$\bar{u}=x_{1}^{\prime}(\underbrace{\bar{e}_{1}+3\bar{e}_{1}}_{\bar{e}_{1}^{\prime}})+x_{2}^{\prime}(\underbrace{4\bar{e}_{1}+2\bar{e}_{2}}_{\bar{e}_{2}^{\prime}})=(\underbrace{x_{1}^{\prime}+4x_{2}^{\prime}}_{x_{1}})\bar{e}_{1}+(\underbrace{3x_{1}^{\prime}+2x_{2}^{\prime}}_{x_{2}})\bar{e}_{2}$

Alltså: $\begin{cases}x_{1}=x_{1}^{\prime}+4x_{2}^{\prime}\\x_{2}=3x_{1}^{\prime}+2x_{2}^{\prime}\end{cases}$

Alternativ lösning

Vi skriver om ovanstående med matriser.

$E=\begin{pmatrix}\bar{e}_{1}\\\bar{e}_{2} \end{pmatrix}$ , $E^\prime=\begin{pmatrix}\bar{e}_{1}^{\prime}\\\bar{e}_{2}^{\prime}\end{pmatrix}$

$\overline{\underline{X}}=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}$ , $\overline{\underline{X}}=\begin{pmatrix}x_{1}^{\prime}\\x_{2}^{\prime}\end{pmatrix}$

Om $E^\prime=\begin{pmatrix}1 & 3\\4 & 2\end{pmatrix}E$ så $\overline{\underline{X}}=\underbrace{\begin{pmatrix}1 & 4\\3 & 2\end{pmatrix}}_{S\text{(basbytesmatris)}}\overline{\underline{X}}^{\prime}$

Ex.: Är matrisen ortogonal?

Visa att matrisen $A=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}3 & 4\\-4 & 3\end{pmatrix}$ är ortogonal

Lösning

$A=(A_{1},A_{2})$

$A_{1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}$ och $A_{2}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$

$\left|A_{1}\right|^{2}=1\Rightarrow\left|A_{1}\right|^{2}=1$ : $A_{1}\cdot A_{1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}=\frac{1}{25}(3\cdot3+(-4)\cdot(-4))=1$

$A_{1}\cdot A_{1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{5}\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}=\frac{1}{25}(3\cdot4+(-4)\cdot3)=0$

$A_{1},A_{2}$ utgör ON-bas i $\mathbb{R}^{2}$ så $A$ är ortogonal.

Ex.: Ortogonal basbytesmatris

Om basbytesmatrisen $S$ är ortogonal så gäller:

$E^{\prime}=S^{T}E\Rightarrow\overline{\underline{X}}^{\prime}=S^{-1}\overline{\underline{X}}=S^{T}\overline{\underline{X}}$

”De nya koordinaterna fås genom att ta S-transponat multiplicerat med de gamla koordinaterna”

Ex.: Bestäm inversen av matris

Bestäm inversen av $A=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & 2 & 1\\-2 & 1 & 2\\1 & -2 & 2\end{pmatrix}$ .

Lösning

Om $A$ ej är ortogonal (som vanlig, gaussa): $\left[A\right|\left.I\right]\cdots\left[I\right|\left.A^{-1}\right]$ .

Snabblösning: Kontrollera om $A$ är en ortogonal matris: $\left|A_{1}\right|=\left|A_{2}\right|=\left|A_{3}\right|=1$ och $A_{1}\cdot A_{2}=A_{1}\cdot A_{3}=A_{2}\cdot A_{3}=0$ .

$A$ ortogonal så $A^{-1}=A^{T}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & -2 & 1\\2 & 1 & -2\\1 & 2 & 2\end{pmatrix}$

Ex.: Matrismultiplikation

$A\overline{\underline{X}}=Y$
$\underbrace{\left(\begin{array}{ccccc}1 & -2 & -1 & 0 & 1\\0 & 0 & -1 & 1 & 1\\-1 & 2 & 0 & 2 & 2\\0 & 0 & 1 & 2 & 5\end{array}\right|\left.\begin{array}{c}0\\-3\\-4\\0\end{array}\right)}_{A}$ , $\overline{\underline{X}}=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{5}\end{pmatrix}$ .

$\sim\left(\begin{array}{ccccc}\boxed{1} & -2 & -1 & 0 & 1\\0 & 0 & \boxed{1} & -1 & -1\\0 & 0 & 0 & \boxed{1} & 2\\0 & \underbrace{0}_{x_{2}=s} & 0 & 0 & \underbrace{0}_{x_{5}=t}\end{array}\right|\left.\begin{array}{c}0\\3\\-1\\0\end{array}\right)$

(Tre stycken pivotelement).

$x_{5}=t$
$x_{4}+2x_{5}=-1\Leftrightarrow x_{4}=-1-2x_{5}=-1-2t$
$x_{3}-x_{4}-x_{5}=3\Leftrightarrow x_{3}=2-t$
$x_{2}=s$
$x_{1}-2x_{2}-x_{3}+x_{5}=0\Leftrightarrow x_{1}=2+2s-2t$

$\overline{\underline{X}}=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{5}\end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix}2\\0\\2\\-1\\0\end{pmatrix}}_{\overline{\underline{X}}_{p}}+s\underbrace{\begin{pmatrix}2\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}_{\overline{\underline{X}}_{h_{1}}}+t\underbrace{\begin{pmatrix}-2\\0\\-1\\-2\\1\end{pmatrix}}_{\overline{\underline{X}}_{h_{2}}},s,t\in\mathbb{R}$

$\overline{\underline{X}}_{p}$ är en lösning till $A\overline{\underline{X}}=Y$ .
$s\cdot\overline{\underline{X}}_{h_{1}}+t\cdot\overline{\underline{X}}_{h_{2}}$ ger alla lösningar till $A\overline{\underline{X}}=0$ .

Vi radreducerade $A$ och fick $G$ :

$G=\begin{pmatrix}\boxed{1} & -2 & -1 & 0 & 1\\0 & 0 & \boxed{1} & -1 & -1\\0 & 0 & 0 & \boxed{1} & 2\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ .

Antalet parametrar är antalet kolonner-antal pivotelement.
$5-3=\boxed{2}$

FMA420: F8 2.5, 7.6-7.7

Basbytesmatris

Ortogonala matriser

Definition ortogonal matris

Sats ortogonal matris

Metod för att ta fram rang respektive nolldimension

Definitioner

Kolonnrummet

Rangen

Nollrummet

Nolldimensionen

Exempel

Ex.: Basbyte vektor

Lösning

Alternativ lösning

Ex.: Är matrisen ortogonal?

Lösning

Ex.: Ortogonal basbytesmatris

Ex.: Bestäm inversen av matris

Lösning

Ex.: Matrismultiplikation

Lämna ett svar Avbryt svar