Basbytesmatris, ortogonala matriser, metod rang och nolldimension,
Definitioner: kolonnrummet, rangen, nollrummet, nolldimensionen
Exempel: Basbyte vektor, är matrisen ortogonal? Ortogonal basbytesmatris, bestäm inversen av matris, matrismultiplikation
Basbytesmatris
”Prim” anger den nya basen.
En bas i :
En godtycklig vektor har koordinaterna
Skapar en matris där kolonnvektorerna är och
:
,
Ortogonala matriser
Definition ortogonal matris
En matris () är ortogonal precis då dess kolonnvektorer utgör en ortonormerad bas i
.
”Utgör en ortonormerad bas” innebär:
- Varje kolonnvektor har längd ett (
)
- Kolonnvektorerna är parvis ortogonala (
)
Sats ortogonal matris
Följande är ekvivalent:
i) Matrisen är ortogonal
ii) Kolonnvektorerna i är en ON-bas
iii) Radvekorerna i är en ON-bas
iv)
v)
vi)
Metod för att ta fram rang respektive nolldimension
- Radreducera (gaussa)
till
.
- Räkna antalet pivotelement, som ger
(
)
- Antalet parametrar till
, ger nolldimensionen till
Definitioner
Kolonnrummet
För matrisen
definierar vi kolonnrummet som mängden av alla linjärkombinationer
av :
. Så kolonnrummet till
består av alla
sådana att
har lösning.
Rangen
Rangen låter vi vara maximala antalet linjärt oberoende vektorer bland . (Dvs. antalet som ej är
.) (Dvs. antalet pivotelement)
Betecknas .
Nollrummet
Nollrummet för är alla
sådana att
.
Nolldimensionen
Maximalt antal linjärt oberoende lösningar till kallas nolldimensionen. (Antalet parametrar, t.ex.
,
ger 2)
Betecknas .
Exempel
Ex.: Basbyte vektor
Har basen i planet. Varje vektor kan skrivas i flera baser. En ny bas
,
införs enligt:
Kontrollera att ovanstående är en bas genom att:
.
Vilket samband gäller mellan ,
och
,
?
Lösning
Alltså:
Alternativ lösning
Vi skriver om ovanstående med matriser.
,
,
Om så
Ex.: Är matrisen ortogonal?
Visa att matrisen är ortogonal
Lösning
och
:
utgör ON-bas i
så
är ortogonal.
Ex.: Ortogonal basbytesmatris
Om basbytesmatrisen är ortogonal så gäller:
”De nya koordinaterna fås genom att ta S-transponat multiplicerat med de gamla koordinaterna”
Ex.: Bestäm inversen av matris
Bestäm inversen av .
Lösning
Om ej är ortogonal (som vanlig, gaussa):
.
Snabblösning: Kontrollera om är en ortogonal matris:
och
.
ortogonal så
Ex.: Matrismultiplikation
,
.
(Tre stycken pivotelement).
är en lösning till
.
ger alla lösningar till
.
Vi radreducerade och fick
:
.
Antalet parametrar är antalet kolonner-antal pivotelement.