Högerorienterad ortonormerad bas (HON-bas)

Vektorprodukt i HON-bas: definition, kom ihåg-regel

Normalisering

Rummet R^n: definition, skalärprodukt i R^n, linjärt beroende/oberoende

Bassatsen

Ex.: Vektorprodukt, arean av triangel där tre pkt angivna, minsta avståndet mellan två linjer, HON-bas parallell med angivet plan, är dessa fyra vektorer bas i R^4?

Föreläsningsanteckningarna

Högerorienterad ortonormerad bas (HON-bas)

$\bar{e}_{1}$ , $\bar{e}_{2}$ , $\bar{e}_{3}$ utgör en HON-bas om

$\bar{e}_{1},\bar{e}_{2},\bar{e}_{3}$ är en ON-bas ( $|\bar{e}_{1}|=|\bar{e}_{2}|=|\bar{e}_{3}|=1$ , $\bar{e}_{1}\cdot\bar{e}_{2}$ , $\bar{e}_{1}\cdot\bar{e}_{2}$ , $\bar{e}_{2}\cdot\bar{e}_{3}=0$ )
och $\bar{e}_{1},\bar{e}_{2},\bar{e}_{3}$ är positivt orienterade.

Vektorprodukt i HON-bas

$|\bar{e}_{1}\times\bar{e}_{2}|=1$ . Vinkelrät mot båda och pekar uppåt (samma som $\bar{e}_{3}$ ) ovan. I en HON-bas är $\bar{e}_{3}=\bar{e}_{1}\times\bar{e}_{2}=-\bar{e}_{2}\times\bar{e}_{1}$ . (Får rätt riktning och rätt längd).

$\bar{e}_{2}=\bar{e}_{3}\times\bar{e}_{1}=\bar{-e}_{1}\times\bar{e}_{3}$ , $\bar{e}_{1}=\bar{e}_{2}\times\bar{e}_{3}=-\bar{e}_{3}\times\bar{e}_{2}$ .

Vid förändrad ordning minustecken framför produkten.

Definition

Låt $\bar{u}=(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}\bar{e}_{1}+x_{2}\bar{e}_{2}+x_{3}\bar{e}_{3}$ och $\bar{v}=(y_{1},y_{2},y_{3})=y_{1}\bar{e}_{1}+y_{2}\bar{e}_{2}+y_{3}\bar{e}_{3}$ .

$\bar{u}\times\bar{v}=x_{1}\bar{e}_{1}+x_{2}\bar{e}_{2}+x_{3}\bar{e}_{3})\times(y_{1}\bar{e}_{1}+y_{2}\bar{e}_{2}+y_{3}\bar{e}_{3})=$

$x_{1}y_{1}\underbrace{\bar{e}_{1}\times\bar{e}_{1}}_{=0}+x_{1}y_{2}\underbrace{\bar{e}_{1}\times\bar{e}_{2}}_{=\bar{e}_{3}}+x_{1}y_{3}\underbrace{\bar{e}_{1}\times\bar{e}_{3}}_{=-\bar{e}_{2}}+x_{2}y_{1}\underbrace{\bar{e}_{2}\times\bar{e}_{1}}_{=-\bar{e}_{3}}+$

$x_{2}y_{2}\underbrace{\bar{e}_{2}\times\bar{e}_{2}}_{=0}+x_{2}y_{3}\underbrace{\bar{e}_{2}\times\bar{e}_{3}}_{=\bar{e}_{1}}+x_{3}y_{1}\underbrace{\bar{e}_{3}\times\bar{e}_{1}}_{=\bar{e}_{2}}+x_{3}y_{2}\underbrace{\bar{e}_{3}\times\bar{e}_{2}}_{=-\bar{e}_{1}}+x_{3}y_{3}\underbrace{\bar{e}_{3}\times\bar{e}_{3}}_{=0}=$

$(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})\bar{e}_{1}+(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3})\bar{e}_{2}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})\bar{e}_{3}=$

$(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}),(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}),(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})$

Kom ihåg-regel

$\begin{array}{cccc} x_{2} & x_{3} & x_{1} & x_{2}\\y_{2} & y_{3} & y_{1} & y_{2}\end{array}$

Normalisering

Få samma riktning, men med längden ett.

$\bar{v}=(a,b,c)$ .

$|\bar{v}|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
$\bar{x}=\frac{1}{|\bar{v}|}\bar{v}=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}(a,b,c)$
$|\bar{x}|=\left|\frac{1}{|\bar{v}|}\bar{v}\right|=\frac{1}{|\bar{v}|}|\bar{v}|=1$

Rummet R^n

Vi har skrivit $\bar{u}=(u_{1},u_{2},u_{3})$

Definition

Med $\mathbb{R}^{n}$ menar vi alla $n$ -tiplar ( $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in\mathbb{R}$ ).

Med operationerna

addition: $(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})+(y_{1},y_{2},\dots,y_{n})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\dots,x_{n}+y_{n})$
multiplikation: $\lambda(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})=(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots,\lambda x_{n})$ .

Med dessa regler blir $\mathbb{R}^{n}$ ett vektorrum (dvs uppfyller A0-A4 & M0-M4)

Skalärprodukt i R^n

$(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})\cdot(y_{1},y_{2},\dots,y_{n})=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\dots+x_{n}y_{n}$

$\bar{x}\in\mathbb{R}^{n}$

$|\bar{x}|=\sqrt{\bar{x}\cdot\bar{x}}=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots x_{n}^{2}}$ .

$\bar{x}$ och $\bar{y}$ är ortogonala om $\bar{x}\cdot\bar{y}=0$ .

Linjärt beroende/oberoende

$\bar{u}_{1},\bar{u}_{2},\dots\bar{u}_{p}$ linjärt oberoende $\Leftrightarrow\lambda_{1}\bar{u}_{1}+\lambda_{2}\bar{u}_{2}+\dots+\lambda_{p}\bar{u}_{p}=0$ och endast har lösningen $\lambda_{1}=\lambda_{2}=\dots=\lambda_{p}=0$

Bassatsen

Varje bas i $\mathbb{R}^{n}$ har $n$ -stycken element.
$n$ vektorer i $\mathbb{R}^{n}$ utgör en bas för $\mathbb{R}^{n}\Leftrightarrow$ de är linjärt oberoende $\Leftrightarrow$ de spänner upp $\mathbb{R}^{n}$ .
Fler än $n$ vektorer i $\mathbb{R}^{n}$ är linjärt beroende.
Färre än $n$ vektorer i $\mathbb{R}^{n}$ kan ej spänna upp $\mathbb{R}^{n}$ (för följder se ii)

Exempel

Nedan följer exempel där ovanstående teori används.

Ex.: Vektorprodukt

Beräkna $(1,2,3)\times(4,5,6)$

Lösning

$\begin{array}{cccc} 2 & 3 & 1 & 2\\5 & 6 & 4 & 5\end{array}$

$(2\cdot6-3\cdot5,3\cdot4-1\cdot6,1\cdot5-2\cdot4)=(-3,6,-3)$

Ex.: Arean av triangel där tre pkt angivna

Bestäm arean av triangeln med hörn $P_{0}:(1,4,1)$ , $P_{1}:(2,6,4)$ , $P_{2}:(5,9,7)$ .

Lösning

Triangelarea: $\frac{1}{2}\left|\bar{u}\times\bar{v}\right|$ (dvs. halva parallellogrammet, som fås från definitionen av vektorprodukt)

$\bar{u}=\vec{P_{0}P_{1}}=(2-1,6-4,4-1)=(1,2,3)$

$\bar{v}=\vec{P_{0}P_{2}}=(5-1,9-4,7-1)=(4,5,6)$

Så $\bar{u}\times\bar{v}=(-3,6-,3)$ och arean blir: $\frac{1}{2}\left|\left(-3,6,-3\right)\right|=\frac{3}{2}\left|\left(-1,2,-1\right)\right|=\frac{3}{2}\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}+(-1)^{2}}=\frac{3}{2}\sqrt{6}$ .

Ex.: Minsta avståndet mellan två linjer

Bestäm minsta avståndet mellan linjerna $l_{1}:(1,1,1)+t(1,-1,1),t\in\mathbb{R}$ och $l_{2}:(1,0,2)+t(2,1,3),t\in\mathbb{R}$

Lösning

Avståndet är en sträcka. Den ska vara vinkelrät mot båda linjerna.

Låt $\pi$ vara det plan som skär $l_{1}$ och som är parallellt med $l_{2}$ .

Parameterform för $\pi:\begin{cases}x=1 & +s+2t\\y=1 & -s+t\\z=1 & +s+3t\end{cases},s,t\in\mathbb{R}$ . (byter namn på $t$ i $l_{2}$ till $s$ .)

Avståndet kan bestämmas genom att bestämma (det minsta) avståndet mellan (linjen) $l_{2}$ och (planet) $\pi$ .

Avståndet mellan punkten $P_{0}$ på linjen $l_{2}$ och punkten $P_{1}$ på planet $\pi$ fås genom att projicera $P_{0}$ på $\pi$ .

$\vec{QP}$ är projektionen av $\vec{P_{1}P_{0}}$ på $\bar{n}.$ Sökt avstånd är alltså $|\vec{QP_{0}}|$ .

Väljer punkterna $P_{0}:(1,0,2),P_{1}:(1,1,1).$ Normalen fås genom att hitta en vektor som är ortogonal mot båda riktningsvektorerna för $l_{1}$ och $l_{2}$ . $\bar{v}_{1}=(1,-1,1)$ , $\bar{v}_{2}=(2,1,3)$ är parallella med $\pi.$

En normal $\bar{n}$ ges av $\bar{n}=\bar{u}\times\bar{v}_{2}=(1,-1,1)\times(2,1,3)$ .

Minnesregeln: $\begin{array}{cccc}-1 & 1 & 1 & -1\\1 & 3 & 2 & 1\end{array}$ . Ger: (-4,-1,3)

$\bar{n}=(-4,-1,3)$ .

$\vec{QP_{0}}=\frac{\vec{P_{1}P_{0}}\cdot\bar{n}}{\bar{n}\cdot\bar{n}}\bar{n}$

$\left|\vec{QP_{0}}\right|=\frac{\left|\vec{P_{1}P_{0}}\right|}{\left|\bar{n}\right|^{2}}|\bar{n}|=\frac{|\vec{P_{1}P_{0}}\cdot\bar{n}|}{|\bar{n}|}=\frac{(1-1,0-1,2-1)\cdot(-4,-1,3)}{|(-4,-1,3)|}=\frac{|1+3|}{\sqrt{(-4)^{2}+(-1)^{2}+3^{2}}}=\frac{4}{\sqrt{26}}.$

(Blir okej eftersom det rör sig om skalärer, ej vektorer)

Anmärkning

Vi får $\pi$ på affin form: $-4x-y+3z+d=0$ (dvs. kryssprodukten mellan vektorerna).

$P_{1}\in\pi$ så $(-4\cdot1-1\cdot1+3\cdot1+d=0\Leftrightarrow d=2)$ .

Dvs. $\pi:-4x-y+3z+2=0$

Ex.: HON-bas parallell med angivet plan

Bestäm en HON-bas $\bar{e}_{1}$ , $\bar{e}_{2},\bar{e}_{3}$ så att $\bar{e}_{1}$ och $\bar{e}_{2}$ är parallella med $\pi:x+y+z=0$ .

Lösning

Vi kan få flera möjliga lösningar.

$\bar{e}_{1}$ , $\bar{e}_{2}\parallel\pi\Rightarrow\bar{e}_{3}\bot\pi$ .

Normalisera: $\bar{e}_{3}\parallel(1,1,1)$

$|(1,1,1)|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}$

Tag $\bar{e}_{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$ .

Välj nu en vektor $\bar{e}_{1}\parallel\pi,|\bar{e}_{1}|=1$ . Ska speciellt vara ortogonal mot normalen: $\bar{e}_{1}\cdot(1,1,1)=0$ , väljer därför $(1,-1,0)$ . $(1,-1,0)\cdot(1,1,1)=(1\cdot1+1\cdot(-1)+1\cdot0)=(1-1+0)=0$

$\bar{e}_{1}\parallel(1,-1,0)$ . Normalisera $|(1,-1,0)|=\sqrt{2}$ . Sätt $\bar{e}_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)$ .

Nu finns ett val för $\bar{e}_{2}$ :

$\bar{e}_{2}=\bar{e}_{3}\times\bar{e}_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)\times\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)=\bar{e}_{2}=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)$ .

Ex.: Är dessa fyra vektorer bas i R^4?

Är $(1,0,2,3)$ , $(1,2,-1,0)$ , $(2,-1,0,1)$ , $(3,1,0,2)$ en bas i $\mathbb{R}^{4}$ ?

Lösning

Vi kontrollerar om de är linjärt oberoende, då ska: $\lambda_{1}(1,0,2,3)+\lambda_{2}(1,2,-1,0)+\lambda_{3}(2,-1,0,1)+\lambda_{4}(3,1,0,2)=(0,0,0,0)$

$\begin{array}{cccccc}\lambda_{1} &+\lambda_{2} &+2\lambda_{3} &+3\lambda_{4} &=0 &(a)\\& 2\lambda_{2} & -\lambda_{3} & +\lambda_{4} & =0 & (b)\\2\lambda_{1} & -\lambda_{2} & & & =0 & (c)\\3\lambda_{1} & & +\lambda_{3} & +2\lambda_{4} & =0 & (d)\end{array}\Leftrightarrow$

$\begin{array}{cccccc}\lambda_{1} & +\lambda_{2} & +2\lambda_{3} & +3\lambda_{\text{4}} & =0 & (a)\\& 2\lambda_{2} & -\lambda_{3} & +\lambda_{4} & =0 & (b)\\& -3\lambda_{2} & -4\lambda_{3} & -6\lambda_{4} & =0 & (c'=-2a+c)\\& -3\lambda_{2} & -5\lambda_{3} & -7\lambda_{4} & =0 & (d'=-3a+d)\end{array}\Leftrightarrow$

$\begin{array}{cccccc}\lambda_{1} & +\lambda_{2} & +2\lambda_{3} & +3\lambda_{\text{4}} & =0 & (a)\\& 2\lambda_{2} & -\lambda_{3} & +\lambda_{4} & =0 & (b)\\& & -\frac{11}{2}\lambda_{3} & -\frac{9}{2}\lambda_{4} & =0 & (c''=\frac{3}{2}b+c')\\& & -\lambda_{3} & -\lambda_{4} & =0 & (d''=-1c'+d')\end{array}\Leftrightarrow$

$(\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3},\lambda_{4})=(0,0,0,0)$

Är linjärt oberoende (dvs $\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=\lambda_{4}=0$ )

FMA420 F6: 5.4-5.6, 6

Högerorienterad ortonormerad bas (HON-bas)

Vektorprodukt i HON-bas

Definition

Kom ihåg-regel

Normalisering

Rummet R^n

Definition

Skalärprodukt i R^n

Linjärt beroende/oberoende

Bassatsen

Exempel

Ex.: Vektorprodukt

Lösning

Ex.: Arean av triangel där tre pkt angivna

Lösning

Ex.: Minsta avståndet mellan två linjer

Lösning

Anmärkning

Ex.: HON-bas parallell med angivet plan

Lösning

Ex.: Är dessa fyra vektorer bas i R^4?

Lösning

Lämna ett svar Avbryt svar