FMA420 F6: 5.4-5.6, 6

Högerorienterad ortonormerad bas (HON-bas)

Vektorprodukt i HON-bas: definition, kom ihåg-regel

Normalisering

Rummet R^n: definition, skalärprodukt i R^n, linjärt beroende/oberoende

Bassatsen

Ex.: Vektorprodukt, arean av triangel där tre pkt angivna, minsta avståndet mellan två linjer, HON-bas parallell med angivet plan, är dessa fyra vektorer bas i R^4?

Föreläsningsanteckningarna

Högerorienterad ortonormerad bas (HON-bas)

\bar{e}_{1}, \bar{e}_{2}, \bar{e}_{3} utgör en HON-bas om

  • \bar{e}_{1},\bar{e}_{2},\bar{e}_{3} är en ON-bas (|\bar{e}_{1}|=|\bar{e}_{2}|=|\bar{e}_{3}|=1, \bar{e}_{1}\cdot\bar{e}_{2}, \bar{e}_{1}\cdot\bar{e}_{2}, \bar{e}_{2}\cdot\bar{e}_{3}=0)
  • och \bar{e}_{1},\bar{e}_{2},\bar{e}_{3} är positivt orienterade.

Vektorprodukt i HON-bas

|\bar{e}_{1}\times\bar{e}_{2}|=1. Vinkelrät mot båda och pekar uppåt (samma som \bar{e}_{3}) ovan. I en HON-bas är \bar{e}_{3}=\bar{e}_{1}\times\bar{e}_{2}=-\bar{e}_{2}\times\bar{e}_{1}. (Får rätt riktning och rätt längd).

\bar{e}_{2}=\bar{e}_{3}\times\bar{e}_{1}=\bar{-e}_{1}\times\bar{e}_{3}\bar{e}_{1}=\bar{e}_{2}\times\bar{e}_{3}=-\bar{e}_{3}\times\bar{e}_{2}.

Vid förändrad ordning minustecken framför produkten.

Definition

Låt \bar{u}=(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}\bar{e}_{1}+x_{2}\bar{e}_{2}+x_{3}\bar{e}_{3} och \bar{v}=(y_{1},y_{2},y_{3})=y_{1}\bar{e}_{1}+y_{2}\bar{e}_{2}+y_{3}\bar{e}_{3}.

\bar{u}\times\bar{v}=x_{1}\bar{e}_{1}+x_{2}\bar{e}_{2}+x_{3}\bar{e}_{3})\times(y_{1}\bar{e}_{1}+y_{2}\bar{e}_{2}+y_{3}\bar{e}_{3})=

x_{1}y_{1}\underbrace{\bar{e}_{1}\times\bar{e}_{1}}_{=0}+x_{1}y_{2}\underbrace{\bar{e}_{1}\times\bar{e}_{2}}_{=\bar{e}_{3}}+x_{1}y_{3}\underbrace{\bar{e}_{1}\times\bar{e}_{3}}_{=-\bar{e}_{2}}+x_{2}y_{1}\underbrace{\bar{e}_{2}\times\bar{e}_{1}}_{=-\bar{e}_{3}}+

x_{2}y_{2}\underbrace{\bar{e}_{2}\times\bar{e}_{2}}_{=0}+x_{2}y_{3}\underbrace{\bar{e}_{2}\times\bar{e}_{3}}_{=\bar{e}_{1}}+x_{3}y_{1}\underbrace{\bar{e}_{3}\times\bar{e}_{1}}_{=\bar{e}_{2}}+x_{3}y_{2}\underbrace{\bar{e}_{3}\times\bar{e}_{2}}_{=-\bar{e}_{1}}+x_{3}y_{3}\underbrace{\bar{e}_{3}\times\bar{e}_{3}}_{=0}=

(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})\bar{e}_{1}+(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3})\bar{e}_{2}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})\bar{e}_{3}=

(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}),(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}),(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})

Kom ihåg-regel

\begin{array}{cccc} x_{2} & x_{3} & x_{1} & x_{2}\\y_{2} & y_{3} & y_{1} & y_{2}\end{array}

Normalisering

Få samma riktning, men med längden ett.

\bar{v}=(a,b,c).

  1.  |\bar{v}|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}
  2. \bar{x}=\frac{1}{|\bar{v}|}\bar{v}=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}(a,b,c)
  3. |\bar{x}|=\left|\frac{1}{|\bar{v}|}\bar{v}\right|=\frac{1}{|\bar{v}|}|\bar{v}|=1 

Rummet R^n

Vi har skrivit \bar{u}=(u_{1},u_{2},u_{3})

Definition

Med \mathbb{R}^{n} menar vi alla n-tiplar (x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\in\mathbb{R}).

Med operationerna

  • addition: (x_{1},x_{2},\dots,x_{n})+(y_{1},y_{2},\dots,y_{n})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\dots,x_{n}+y_{n})
  • multiplikation: \lambda(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})=(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots,\lambda x_{n}).

Med dessa regler blir \mathbb{R}^{n} ett vektorrum (dvs uppfyller A0-A4 & M0-M4) 

Skalärprodukt i R^n

(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})\cdot(y_{1},y_{2},\dots,y_{n})=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\dots+x_{n}y_{n}

\bar{x}\in\mathbb{R}^{n}

|\bar{x}|=\sqrt{\bar{x}\cdot\bar{x}}=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots x_{n}^{2}}.

\bar{x} och \bar{y} är ortogonala om \bar{x}\cdot\bar{y}=0.

Linjärt beroende/oberoende

\bar{u}_{1},\bar{u}_{2},\dots\bar{u}_{p} linjärt oberoende \Leftrightarrow\lambda_{1}\bar{u}_{1}+\lambda_{2}\bar{u}_{2}+\dots+\lambda_{p}\bar{u}_{p}=0 och endast har lösningen \lambda_{1}=\lambda_{2}=\dots=\lambda_{p}=0

Bassatsen

  1. Varje bas i \mathbb{R}^{n} har n-stycken element.
  2. n vektorer i \mathbb{R}^{n} utgör en bas för \mathbb{R}^{n}\Leftrightarrow de är linjärt oberoende \Leftrightarrow de spänner upp \mathbb{R}^{n}.
  3. Fler än n vektorer i \mathbb{R}^{n} är linjärt beroende.
  4. Färre än n vektorer i \mathbb{R}^{n} kan ej spänna upp \mathbb{R}^{n} (för följder se ii)

Exempel

Nedan följer exempel där ovanstående teori används.

Ex.: Vektorprodukt

Beräkna (1,2,3)\times(4,5,6)

Lösning

\begin{array}{cccc} 2 & 3 & 1 & 2\\5 & 6 & 4 & 5\end{array}

(2\cdot6-3\cdot5,3\cdot4-1\cdot6,1\cdot5-2\cdot4)=(-3,6,-3) 

Ex.: Arean av triangel där tre pkt angivna

Bestäm arean av triangeln med hörn P_{0}:(1,4,1), P_{1}:(2,6,4), P_{2}:(5,9,7).

 Lösning

Triangelarea: \frac{1}{2}\left|\bar{u}\times\bar{v}\right| (dvs. halva parallellogrammet, som fås från definitionen av vektorprodukt)

\bar{u}=\vec{P_{0}P_{1}}=(2-1,6-4,4-1)=(1,2,3)

\bar{v}=\vec{P_{0}P_{2}}=(5-1,9-4,7-1)=(4,5,6)

\bar{u}\times\bar{v}=(-3,6-,3) och arean blir: \frac{1}{2}\left|\left(-3,6,-3\right)\right|=\frac{3}{2}\left|\left(-1,2,-1\right)\right|=\frac{3}{2}\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}+(-1)^{2}}=\frac{3}{2}\sqrt{6}.

Ex.: Minsta avståndet mellan två linjer

Bestäm minsta avståndet mellan linjerna l_{1}:(1,1,1)+t(1,-1,1),t\in\mathbb{R} och l_{2}:(1,0,2)+t(2,1,3),t\in\mathbb{R}

Lösning

Avståndet är en sträcka. Den ska vara vinkelrät mot båda linjerna.

Låt \pi vara det plan som skär l_{1} och som är parallellt med l_{2}.

Parameterform för \pi:\begin{cases}x=1 & +s+2t\\y=1 & -s+t\\z=1 & +s+3t\end{cases},s,t\in\mathbb{R}. (byter namn på t i l_{2} till s.)

Avståndet kan bestämmas genom att bestämma (det minsta) avståndet mellan (linjen) l_{2} och (planet) \pi.

Avståndet mellan punkten P_{0} på linjen l_{2} och punkten P_{1} på planet \pi fås genom att projicera P_{0}\pi.

\vec{QP} är projektionen av \vec{P_{1}P_{0}}\bar{n}. Sökt avstånd är alltså |\vec{QP_{0}}|.

Väljer punkterna P_{0}:(1,0,2),P_{1}:(1,1,1). Normalen fås genom att hitta en vektor som är ortogonal mot båda riktningsvektorerna för l_{1} och l_{2}. \bar{v}_{1}=(1,-1,1), \bar{v}_{2}=(2,1,3) är parallella med \pi.

En normal \bar{n} ges av \bar{n}=\bar{u}\times\bar{v}_{2}=(1,-1,1)\times(2,1,3).

Minnesregeln: \begin{array}{cccc}-1 & 1 & 1 & -1\\1 & 3 & 2 & 1\end{array}. Ger: (-4,-1,3)

\bar{n}=(-4,-1,3).

\vec{QP_{0}}=\frac{\vec{P_{1}P_{0}}\cdot\bar{n}}{\bar{n}\cdot\bar{n}}\bar{n}

\left|\vec{QP_{0}}\right|=\frac{\left|\vec{P_{1}P_{0}}\right|}{\left|\bar{n}\right|^{2}}|\bar{n}|=\frac{|\vec{P_{1}P_{0}}\cdot\bar{n}|}{|\bar{n}|}=\frac{(1-1,0-1,2-1)\cdot(-4,-1,3)}{|(-4,-1,3)|}=\frac{|1+3|}{\sqrt{(-4)^{2}+(-1)^{2}+3^{2}}}=\frac{4}{\sqrt{26}}.

(Blir okej eftersom det rör sig om skalärer, ej vektorer)

Anmärkning

Vi får \pi på affin form: -4x-y+3z+d=0 (dvs. kryssprodukten mellan vektorerna).

P_{1}\in\pi(-4\cdot1-1\cdot1+3\cdot1+d=0\Leftrightarrow d=2).

Dvs. \pi:-4x-y+3z+2=0

Ex.: HON-bas parallell med angivet plan

Bestäm en HON-bas \bar{e}_{1}, \bar{e}_{2},\bar{e}_{3} så att \bar{e}_{1} och \bar{e}_{2} är parallella med \pi:x+y+z=0.

 Lösning

Vi kan få flera möjliga lösningar.

\bar{e}_{1}, \bar{e}_{2}\parallel\pi\Rightarrow\bar{e}_{3}\bot\pi.

Normalisera: \bar{e}_{3}\parallel(1,1,1)

|(1,1,1)|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}

Tag \bar{e}_{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1).

Välj nu en vektor \bar{e}_{1}\parallel\pi,|\bar{e}_{1}|=1. Ska speciellt vara ortogonal mot normalen: \bar{e}_{1}\cdot(1,1,1)=0, väljer därför (1,-1,0). (1,-1,0)\cdot(1,1,1)=(1\cdot1+1\cdot(-1)+1\cdot0)=(1-1+0)=0

\bar{e}_{1}\parallel(1,-1,0). Normalisera |(1,-1,0)|=\sqrt{2}. Sätt \bar{e}_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0).

Nu finns ett val för \bar{e}_{2}:

\bar{e}_{2}=\bar{e}_{3}\times\bar{e}_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)\times\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)=\bar{e}_{2}=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2).

Ex.: Är dessa fyra vektorer bas i R^4?

Är (1,0,2,3), (1,2,-1,0), (2,-1,0,1), (3,1,0,2) en bas i \mathbb{R}^{4}?

 Lösning

Vi kontrollerar om de är linjärt oberoende, då ska: \lambda_{1}(1,0,2,3)+\lambda_{2}(1,2,-1,0)+\lambda_{3}(2,-1,0,1)+\lambda_{4}(3,1,0,2)=(0,0,0,0)

\begin{array}{cccccc}\lambda_{1} &+\lambda_{2} &+2\lambda_{3} &+3\lambda_{4} &=0 &(a)\\& 2\lambda_{2} & -\lambda_{3} & +\lambda_{4} & =0 & (b)\\2\lambda_{1} & -\lambda_{2} & & & =0 & (c)\\3\lambda_{1} & & +\lambda_{3} & +2\lambda_{4} & =0 & (d)\end{array}\Leftrightarrow

\begin{array}{cccccc}\lambda_{1} & +\lambda_{2} & +2\lambda_{3} & +3\lambda_{\text{4}} & =0 & (a)\\& 2\lambda_{2} & -\lambda_{3} & +\lambda_{4} & =0 & (b)\\& -3\lambda_{2} & -4\lambda_{3} & -6\lambda_{4} & =0 & (c'=-2a+c)\\& -3\lambda_{2} & -5\lambda_{3} & -7\lambda_{4} & =0 & (d'=-3a+d)\end{array}\Leftrightarrow

\begin{array}{cccccc}\lambda_{1} & +\lambda_{2} & +2\lambda_{3} & +3\lambda_{\text{4}} & =0 & (a)\\& 2\lambda_{2} & -\lambda_{3} & +\lambda_{4} & =0 & (b)\\& & -\frac{11}{2}\lambda_{3} & -\frac{9}{2}\lambda_{4} & =0 & (c''=\frac{3}{2}b+c')\\& & -\lambda_{3} & -\lambda_{4} & =0 & (d''=-1c'+d')\end{array}\Leftrightarrow

(\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3},\lambda_{4})=(0,0,0,0)

Är linjärt oberoende (dvs \lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=\lambda_{4}=0)

Kommentera

E-postadressen publiceras inte. Obligatoriska fält är märkta *

Denna webbplats använder Akismet för att minska skräppost. Lär dig hur din kommentardata bearbetas.