FMA420: F3 3.1-3.3

Termer: ortsvektor, koordinat, koordinatsystem.
Former: parameterform & affin/normal- form
Exempel:

  • Linje som skär punkter
  • Tillhör punkten linjen?
  • Skär linjerna varandra?
  • Bestäm ekvationen för planet som skär tre givna punkter
  • Tillhör punkt plan?
  • Omskrivning från parameterform till affin form
  • Skärning mellan plan
  • Skärning mellan plan och linje

Föreläsningsanteckningarna

Ortsvektor, koordinat och koordinatsystem

Ortsvektor: Vektorn som bildas mellan punkten P och Origo: \vec{OP}=x\cdot\bar{e}_{x}+y\cdot\bar{e}_{y}
Punkten Ps koordinater är x,y i koordinatsystemet O\bar{e}_{x}\bar{e}_{y}

Linje

För att bestämma en linje behövs

  1. Punkt
  2. Riktningsvektor

Parameterform

Punkter: P_{0}:(x_{0},y_{o},z_{0}) och P:(x,y,z). Vektor \bar{v}=(\alpha,\beta,\gamma).
Det finns ett tal sådant att \vec{P_{0}P}=t\cdot\bar{v}.

(x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0})=t(\alpha,\beta,\gamma)=(t\alpha,t\beta,t\gamma), t\in\mathbb{R}.

\text{Linje p\aa\, parameterform}\begin{cases} \boxed{\begin{array}{cc} x=x_{0}+t\alpha\\ y=y_{0}+t\beta\ & ,t\in\mathbb{R}\\ z=z_{0}+t\gamma \end{array}}\end{cases}

Plan

Parameterform

Givet en punkt P_{0} och två icke-parallella vektorer \bar{v}_{1}=(\alpha_{1},\beta_{1},\gamma_{1}),
\bar{v}_{2}=(\alpha_{2},\beta_{2},\gamma_{2}). \vec{P_{0}P} kan skrivas som en linjärkombination av \bar{v}_{1} och \bar{v}_{2}:

\boxed{\pi:\begin{cases} x=x_{0}+\alpha_{1}s+\alpha_{2}t\\ y=y_{0}+\beta_{1}s+\beta_{2}t & s,t\in\mathbb{R}\\<br /> z=z_{0}+\gamma_{1}s+\gamma_{2} \end{cases}}\mbox{\ensuremath{\leftarrow}}\text{Planets ekvation p\aa\, parameterform.}

Affin form (normalform)

\boxed{ax+by+cz+d=0} (Normalen till planet \bar{n}=(a,b,c)).

Exempel

Hur använda ovanstående i praktiken?

1. Ekvation för linje som skär punkter

Bestäm ekvation på parameterform för den linje som skär P_0:(x_0,y_0,z_0) och P_1:(x_1,y_1,z_1).

Lösning: Skapa vecktor \vec{P_0P_1}=(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1,z_0) Som parentes kan nämnas =(\alpha,\beta,\gamma) i linjens ekvation på parameterform. Med P_0 som punkt fås:
\begin{cases}x=x_0+t\cdot\alpha\\y=y_0+t\cdot\beta & ,t\in\mathbb{R}\\z=z_0+t\cdot\gamma\end{cases}

2. Tillhör punkten linjen?

Givet punkten P_2:(x_3,y_3,z_3) och linjen ovan.
Lösning: Ersätt (x,y,z) i linjens ekvation med (x_3,y_3,z_3). Finns det en lösning för talet t?

3. Skär linjerna varandra?

Givet linjerna l_{1}:\begin{cases}x=x_1+\alpha_1\cdot t\\y=y_1+\beta_1\cdot t & t\in\mathbb{R}\\z=z_1+\gamma_1\cdot t\end{cases} och l_{2}:\begin{cases}x=x_2+\alpha_2\cdot s\\y=y_2+\beta_2\cdot s & s\in\mathbb{R}\\z=z_2+\gamma_2\cdot s\end{cases}.
Lösning: För att de ska skära varandra måste (x,y,z) vara lika i skärningspunkten. Med andra ord ska ekvationen nedan kunna lösas för s och t:
\begin{array}{c} x:\\ y:\\ z: \end{array}\begin{cases} x_{1}+\alpha_{1}\cdot t=x_{2}+\alpha_{2}\cdot s\\y_{1}+\beta_{1}\cdot t=y_{2}+\beta_{2}\cdot s\\z_{1}+\gamma_{1}\cdot t=z_{3}+\gamma_{2}\cdot s\end{cases}

4. Bestäm ekvation för planet som skär tre givna punkter

Planet benämns \pi. De tre punkterna är P_0:(x_0,y_0,z_0),P_1:(x_1,y_1,z_1),P_2:(x_2,y_2,z_2).
Lösning: Låt \bar{v}_1=\vec{P_0P_1}=(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0) och \bar{v}_2=\vec{P_0P_2}=(x_2-x_0,y_2-y_0,z_2-z_0). I plantes ekvation på parameterform blir \bar{v}_1=(\alpha_1,\beta_1,\gamma_1) och \bar{v}_2=(\alpha_2,\beta_2,\gamma_2). Sätt in direkt i ekvationen. Löst!

5. Tillhör punkt plan

Givet P_\nu:(x_\nu,y_\nu,z_\nu) och planet \pi ovan.
Lösning: Ersätt (x,y,z) i planets ekvation på parameterform med P_\nu:(x_\nu,y_\nu,z_\nu). Om systemet ej är lösbart saknas lösning på ekvationen.

Alternativ lösning på affin form:
Ersätt a,b,c med P_\nu:(x_\nu,y_\nu,z_\nu)

6. Omskrivning från parameterform till affin form

”Gaussa bort” s och t en av ekvationerna i:

\pi:\begin{cases} x=x_{0}+\alpha_{1}s+\alpha_{2}t\\ y=y_{0}+\beta_{1}s+\beta_{2}t & s,t\in\mathbb{R}\\<br /> z=z_{0}+\gamma_{1}s+\gamma_{2} \end{cases} Uttrycket ska alltså bli: $latex ax+by+cz+d=0$

7. Skärning mellan plan

Sker normalt – och det längst en linje.
Givet planen \pi_1=(a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0),\pi_2=(a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0). I skärningslinjen är (X,y,z)-koordinaterna samma för båda planen. Dvs ekvationssystemet blir:
\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0\Leftrightarrow a_1x+b_1y+c_1z=-d_1\\a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\Leftrightarrow a_2x+b_2y+c_2z=-d_2\\\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=\dots\\y=\dots\\z=\dots\end{cases}

8. Skärning mellan plan och linje

Givet planet ax+by+cz+d=0 och linjen (x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t(\alpha,\beta,\gamma),\quad t\in\mathbb{R}
Lösning: Sätt in x=x_0+\alpha t,y=y_0+\beta t,z=z_0+\gamma t i planets ekvation:
a(x_0+\alpha t)+b(y_0+\beta t)+c(z_0+\gamma t)+d=0. Lös ut t och få punkten genom att sätta in t i linjens ekvation.

Anm: om t saknar värde skär linjen aldrig planet.

Kommentera

E-postadressen publiceras inte. Obligatoriska fält är märkta *

Denna webbplats använder Akismet för att minska skräppost. Lär dig hur din kommentardata bearbetas.