Innehållsförteckning
Termer: ortsvektor, koordinat, koordinatsystem.
Former: parameterform & affin/normal- form
Exempel:
- Linje som skär punkter
- Tillhör punkten linjen?
- Skär linjerna varandra?
- Bestäm ekvationen för planet som skär tre givna punkter
- Tillhör punkt plan?
- Omskrivning från parameterform till affin form
- Skärning mellan plan
- Skärning mellan plan och linje
Ortsvektor, koordinat och koordinatsystem
Ortsvektor: Vektorn som bildas mellan punkten P och Origo: $latex \vec{OP}=x\cdot\bar{e}_{x}+y\cdot\bar{e}_{y}$
Punkten Ps koordinater är x,y i koordinatsystemet $latex O\bar{e}_{x}\bar{e}_{y}$
Linje
För att bestämma en linje behövs
- Punkt
- Riktningsvektor
Parameterform
Punkter: $latex P_{0}:(x_{0},y_{o},z_{0})$ och $latex P:(x,y,z)$. Vektor $latex \bar{v}=(\alpha,\beta,\gamma)$.
Det finns ett tal sådant att $latex \vec{P_{0}P}=t\cdot\bar{v}$.
$latex (x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0})=t(\alpha,\beta,\gamma)=(t\alpha,t\beta,t\gamma), t\in\mathbb{R}$.
$latex \text{Linje p\aa\, parameterform}\begin{cases} \boxed{\begin{array}{cc} x=x_{0}+t\alpha\\ y=y_{0}+t\beta\ & ,t\in\mathbb{R}\\ z=z_{0}+t\gamma \end{array}}\end{cases} $
Plan
Parameterform
Givet en punkt $latex P_{0}$ och två icke-parallella vektorer $latex \bar{v}_{1}=(\alpha_{1},\beta_{1},\gamma_{1})$,
$latex \bar{v}_{2}=(\alpha_{2},\beta_{2},\gamma_{2})$. $latex \vec{P_{0}P}$ kan skrivas som en linjärkombination av $latex \bar{v}_{1}$ och $latex \bar{v}_{2}$:
[latex]\boxed{\pi:\begin{cases} x=x_{0}+\alpha_{1}s+\alpha_{2}t\\ y=y_{0}+\beta_{1}s+\beta_{2}t & s,t\in\mathbb{R}\\
z=z_{0}+\gamma_{1}s+\gamma_{2} \end{cases}}\mbox{\ensuremath{\leftarrow}}\text{Planets ekvation p\aa\, parameterform.}[/latex]
Affin form (normalform)
$latex \boxed{ax+by+cz+d=0}$ (Normalen till planet $latex \bar{n}=(a,b,c)$).
Exempel
Hur använda ovanstående i praktiken?
1. Ekvation för linje som skär punkter
Bestäm ekvation på parameterform för den linje som skär $latex P_0:(x_0,y_0,z_0)$ och $latex P_1:(x_1,y_1,z_1)$.
Lösning: Skapa vecktor $latex \vec{P_0P_1}=(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1,z_0)$ Som parentes kan nämnas $latex =(\alpha,\beta,\gamma)$ i linjens ekvation på parameterform. Med $latex P_0$ som punkt fås:
$latex \begin{cases}x=x_0+t\cdot\alpha\\y=y_0+t\cdot\beta & ,t\in\mathbb{R}\\z=z_0+t\cdot\gamma\end{cases}$
2. Tillhör punkten linjen?
Givet punkten $latex P_2:(x_3,y_3,z_3)$ och linjen ovan.
Lösning: Ersätt $latex (x,y,z)$ i linjens ekvation med $latex (x_3,y_3,z_3)$. Finns det en lösning för talet t?
3. Skär linjerna varandra?
Givet linjerna $latex l_{1}:\begin{cases}x=x_1+\alpha_1\cdot t\\y=y_1+\beta_1\cdot t & t\in\mathbb{R}\\z=z_1+\gamma_1\cdot t\end{cases}$ och $latex l_{2}:\begin{cases}x=x_2+\alpha_2\cdot s\\y=y_2+\beta_2\cdot s & s\in\mathbb{R}\\z=z_2+\gamma_2\cdot s\end{cases}$.
Lösning: För att de ska skära varandra måste (x,y,z) vara lika i skärningspunkten. Med andra ord ska ekvationen nedan kunna lösas för s och t:
$latex \begin{array}{c} x:\\ y:\\ z: \end{array}\begin{cases} x_{1}+\alpha_{1}\cdot t=x_{2}+\alpha_{2}\cdot s\\y_{1}+\beta_{1}\cdot t=y_{2}+\beta_{2}\cdot s\\z_{1}+\gamma_{1}\cdot t=z_{3}+\gamma_{2}\cdot s\end{cases}$
4. Bestäm ekvation för planet som skär tre givna punkter
Planet benämns $latex \pi$. De tre punkterna är $latex P_0:(x_0,y_0,z_0),P_1:(x_1,y_1,z_1),P_2:(x_2,y_2,z_2)$.
Lösning: Låt $latex \bar{v}_1=\vec{P_0P_1}=(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)$ och $latex \bar{v}_2=\vec{P_0P_2}=(x_2-x_0,y_2-y_0,z_2-z_0)$. I plantes ekvation på parameterform blir $latex \bar{v}_1=(\alpha_1,\beta_1,\gamma_1)$ och $latex \bar{v}_2=(\alpha_2,\beta_2,\gamma_2)$. Sätt in direkt i ekvationen. Löst!
5. Tillhör punkt plan
Givet $latex P_\nu:(x_\nu,y_\nu,z_\nu)$ och planet $latex \pi$ ovan.
Lösning: Ersätt (x,y,z) i planets ekvation på parameterform med $latex P_\nu:(x_\nu,y_\nu,z_\nu)$. Om systemet ej är lösbart saknas lösning på ekvationen.
Alternativ lösning på affin form:
Ersätt a,b,c med $latex P_\nu:(x_\nu,y_\nu,z_\nu)$
6. Omskrivning från parameterform till affin form
”Gaussa bort” s och t en av ekvationerna i:
[latex]\pi:\begin{cases} x=x_{0}+\alpha_{1}s+\alpha_{2}t\\ y=y_{0}+\beta_{1}s+\beta_{2}t & s,t\in\mathbb{R}\\
z=z_{0}+\gamma_{1}s+\gamma_{2} \end{cases}[/latex] Uttrycket ska alltså bli: $latex ax+by+cz+d=0$
7. Skärning mellan plan
Sker normalt – och det längst en linje.
Givet planen $latex \pi_1=(a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0),\pi_2=(a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0)$. I skärningslinjen är (X,y,z)-koordinaterna samma för båda planen. Dvs ekvationssystemet blir:
$latex \begin{cases}a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0\Leftrightarrow a_1x+b_1y+c_1z=-d_1\\a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\Leftrightarrow a_2x+b_2y+c_2z=-d_2\\\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=\dots\\y=\dots\\z=\dots\end{cases}$
8. Skärning mellan plan och linje
Givet planet $latex ax+by+cz+d=0$ och linjen $latex (x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t(\alpha,\beta,\gamma),\quad t\in\mathbb{R}$
Lösning: Sätt in $latex x=x_0+\alpha t,y=y_0+\beta t,z=z_0+\gamma t$ i planets ekvation:
$latex a(x_0+\alpha t)+b(y_0+\beta t)+c(z_0+\gamma t)+d=0$. Lös ut t och få punkten genom att sätta in t i linjens ekvation.
Anm: om $latex t$ saknar värde skär linjen aldrig planet.