Innehållsförteckning

Termer: ortsvektor, koordinat, koordinatsystem.
Former: parameterform & affin/normal- form
Exempel:

Linje som skär punkter
Tillhör punkten linjen?
Skär linjerna varandra?
Bestäm ekvationen för planet som skär tre givna punkter
Tillhör punkt plan?
Omskrivning från parameterform till affin form
Skärning mellan plan
Skärning mellan plan och linje

Ortsvektor, koordinat och koordinatsystem

Ortsvektor: Vektorn som bildas mellan punkten P och Origo: $\vec{OP}=x\cdot\bar{e}_{x}+y\cdot\bar{e}_{y}$
Punkten Ps koordinater är x,y i koordinatsystemet $O\bar{e}_{x}\bar{e}_{y}$

Linje

För att bestämma en linje behövs

Punkt
Riktningsvektor

Parameterform

Punkter: $P_{0}:(x_{0},y_{o},z_{0})$ och $P:(x,y,z)$ . Vektor $\bar{v}=(\alpha,\beta,\gamma)$ .
Det finns ett tal sådant att $\vec{P_{0}P}=t\cdot\bar{v}$ .

$(x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0})=t(\alpha,\beta,\gamma)=(t\alpha,t\beta,t\gamma), t\in\mathbb{R}$ .

$\text{Linje p\aa\, parameterform}\begin{cases} \boxed{\begin{array}{cc} x=x_{0}+t\alpha\\ y=y_{0}+t\beta\ & ,t\in\mathbb{R}\\ z=z_{0}+t\gamma \end{array}}\end{cases}$

Plan

Parameterform

Givet en punkt $P_{0}$ och två icke-parallella vektorer $\bar{v}_{1}=(\alpha_{1},\beta_{1},\gamma_{1})$ ,
$\bar{v}_{2}=(\alpha_{2},\beta_{2},\gamma_{2})$ . $\vec{P_{0}P}$ kan skrivas som en linjärkombination av $\bar{v}_{1}$ och $\bar{v}_{2}$ :

$\boxed{\pi:\begin{cases} x=x_{0}+\alpha_{1}s+\alpha_{2}t\\ y=y_{0}+\beta_{1}s+\beta_{2}t & s,t\in\mathbb{R}\\<br /> z=z_{0}+\gamma_{1}s+\gamma_{2} \end{cases}}\mbox{\ensuremath{\leftarrow}}\text{Planets ekvation p\aa\, parameterform.}$

Affin form (normalform)

$\boxed{ax+by+cz+d=0}$ (Normalen till planet $\bar{n}=(a,b,c)$ ).

Exempel

Hur använda ovanstående i praktiken?

1. Ekvation för linje som skär punkter

Bestäm ekvation på parameterform för den linje som skär $P_0:(x_0,y_0,z_0)$ och $P_1:(x_1,y_1,z_1)$ .

Lösning: Skapa vecktor $\vec{P_0P_1}=(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1,z_0)$ Som parentes kan nämnas $=(\alpha,\beta,\gamma)$ i linjens ekvation på parameterform. Med $P_0$ som punkt fås:
$\begin{cases}x=x_0+t\cdot\alpha\\y=y_0+t\cdot\beta & ,t\in\mathbb{R}\\z=z_0+t\cdot\gamma\end{cases}$

2. Tillhör punkten linjen?

Givet punkten $P_2:(x_3,y_3,z_3)$ och linjen ovan.
Lösning: Ersätt $(x,y,z)$ i linjens ekvation med $(x_3,y_3,z_3)$ . Finns det en lösning för talet t?

3. Skär linjerna varandra?

Givet linjerna $l_{1}:\begin{cases}x=x_1+\alpha_1\cdot t\\y=y_1+\beta_1\cdot t & t\in\mathbb{R}\\z=z_1+\gamma_1\cdot t\end{cases}$ och $l_{2}:\begin{cases}x=x_2+\alpha_2\cdot s\\y=y_2+\beta_2\cdot s & s\in\mathbb{R}\\z=z_2+\gamma_2\cdot s\end{cases}$ .
Lösning: För att de ska skära varandra måste (x,y,z) vara lika i skärningspunkten. Med andra ord ska ekvationen nedan kunna lösas för s och t:
$\begin{array}{c} x:\\ y:\\ z: \end{array}\begin{cases} x_{1}+\alpha_{1}\cdot t=x_{2}+\alpha_{2}\cdot s\\y_{1}+\beta_{1}\cdot t=y_{2}+\beta_{2}\cdot s\\z_{1}+\gamma_{1}\cdot t=z_{3}+\gamma_{2}\cdot s\end{cases}$

4. Bestäm ekvation för planet som skär tre givna punkter

Planet benämns $\pi$ . De tre punkterna är $P_0:(x_0,y_0,z_0),P_1:(x_1,y_1,z_1),P_2:(x_2,y_2,z_2)$ .
Lösning: Låt $\bar{v}_1=\vec{P_0P_1}=(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)$ och $\bar{v}_2=\vec{P_0P_2}=(x_2-x_0,y_2-y_0,z_2-z_0)$ . I plantes ekvation på parameterform blir $\bar{v}_1=(\alpha_1,\beta_1,\gamma_1)$ och $\bar{v}_2=(\alpha_2,\beta_2,\gamma_2)$ . Sätt in direkt i ekvationen. Löst!

5. Tillhör punkt plan

Givet $P_\nu:(x_\nu,y_\nu,z_\nu)$ och planet $\pi$ ovan.
Lösning: Ersätt (x,y,z) i planets ekvation på parameterform med $P_\nu:(x_\nu,y_\nu,z_\nu)$ . Om systemet ej är lösbart saknas lösning på ekvationen.

Alternativ lösning på affin form:
Ersätt a,b,c med $P_\nu:(x_\nu,y_\nu,z_\nu)$

6. Omskrivning från parameterform till affin form

”Gaussa bort” s och t en av ekvationerna i:

$\pi:\begin{cases} x=x_{0}+\alpha_{1}s+\alpha_{2}t\\ y=y_{0}+\beta_{1}s+\beta_{2}t & s,t\in\mathbb{R}\\<br /> z=z_{0}+\gamma_{1}s+\gamma_{2} \end{cases}$ Uttrycket ska alltså bli: $latex ax+by+cz+d=0$

7. Skärning mellan plan

Sker normalt – och det längst en linje.
Givet planen $\pi_1=(a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0),\pi_2=(a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0)$ . I skärningslinjen är (X,y,z)-koordinaterna samma för båda planen. Dvs ekvationssystemet blir:
$\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0\Leftrightarrow a_1x+b_1y+c_1z=-d_1\\a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\Leftrightarrow a_2x+b_2y+c_2z=-d_2\\\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=\dots\\y=\dots\\z=\dots\end{cases}$

8. Skärning mellan plan och linje

Givet planet $ax+by+cz+d=0$ och linjen $(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t(\alpha,\beta,\gamma),\quad t\in\mathbb{R}$
Lösning: Sätt in $x=x_0+\alpha t,y=y_0+\beta t,z=z_0+\gamma t$ i planets ekvation:
$a(x_0+\alpha t)+b(y_0+\beta t)+c(z_0+\gamma t)+d=0$ . Lös ut t och få punkten genom att sätta in t i linjens ekvation.

Anm: om $t$ saknar värde skär linjen aldrig planet.

FMA420: F3 3.1-3.3

Ortsvektor, koordinat och koordinatsystem

Linje

Parameterform

Plan

Parameterform

Affin form (normalform)

Exempel

1. Ekvation för linje som skär punkter

2. Tillhör punkten linjen?

3. Skär linjerna varandra?

4. Bestäm ekvation för planet som skär tre givna punkter

5. Tillhör punkt plan

6. Omskrivning från parameterform till affin form

7. Skärning mellan plan

8. Skärning mellan plan och linje

Lämna ett svar Avbryt svar