FMA420 F5: 4.3, 5.1-5.3

~ Tobias Mörtlund

ON-bas, positiv/negativ orientering.

Vektorprodukt (kryssprodukt): definition, geometrisk tolkning, skalär tripperprodukt, räkneregler

Exempel: komposantuppdelning, ortogonal projektion, spegelbild, avstånd punkt och plan, skillnad skalärprodukt och vektorprodukt.

Föreläsningsanteckningarna

ON-bas

Antag att \bar{e}_{1},\bar{e}_{2},\bar{e}_{3} utgör en ON-bas i rummet, och antag att \bar{v}=x_{1}\bar{e}_{1}+x_{2}\bar{e}_{2}+x_{3}\bar{e}_{3}. Då är:

\begin{cases}x_{1}=\bar{v}\cdot\bar{e}_{1}\\x_{2}=\bar{v}\cdot\bar{e}_{2}\\x_{3}=\bar{v}\cdot\bar{e}_{3}\end{cases}

Bevis

\bar{v}\cdot\bar{e}_{1}=x_{1}\bar{e}_{1}+x_{2}\bar{e}_{2}+x_{3}\bar{e}_{3})\cdot\bar{e}_{1}=x_{1}\underbrace{\bar{e}_{1}\cdot\bar{e}_{1}}_{|\bar{e}_{1}|^{2}=1}+x_{2}\underbrace{\bar{e}_{2}\bar{e}_{1}}_{=0}+x_{3}\underbrace{\bar{e}_{3}\bar{e}_{1}}_{=0}=x_{1}

Positiv/negativ orientering

Hur är vektorerna orienterade i förhållande till varandra?

I planet

Fri tolkning: ”Om den kortaste vägen mellan \bar{u}  och \bar{v}  är motsols är \bar{u}, \bar{v} positivt orienterade. I annat fall negativt orienterade”

\bar{u},\bar{v} positivt orienterade \Leftrightarrow\bar{v}, \bar{u}  negativt orienterade. (Byt plats på dem).

I rummet

\bar{u},\bar{v},\bar{w} positivt orienterade om \bar{u} och \bar{v} ses positivt orienterade från huvudet på \bar{w}.

Vektorprodukt (kryssprodukt)

Produkten blir, tillskillnad från en skalärprodukt, en vektor.

Definition

Låt \bar{u}\neq\bar{0}, \bar{v}\neq\bar{0} i rummet. Med vektorprodukten (kryssprodukten)  \bar{u}\times\bar{v} menas den vektor som har egenskaperna:

  1. |\bar{u}\times\bar{v}|=|\bar{u}|\cdot|\bar{v}|\cdot\sin[\bar{u},\bar{v}].
  2. \bar{u}\times\bar{v} är ortogonal (\bot) mot \bar{u} och \bar{v}.
  3. De tre vektorerna \bar{u}, \bar{v}, \bar{u}\times\bar{v} ska vara positivt orienterade.

Geometrisk tolkning

  • |\bar{u}\times\bar{v}|  är arean av den parallellogram som spänns upp av \bar{u} och \bar{v}.
  • Låt W vara volymen av den parallellepiped som spänns upp av \bar{u}, \bar{v} och \bar{w}. Då är W=\pm(\bar{u}\times\bar{v})\cdot\bar{w} där tecknet väljs så att W blir positivt.

Bevis för det sistnämnda

\left(\frac{h}{\bar{w}}=\cos\theta\right) Volymen=basarea x höjd=|\bar{u}\times\bar{v}|\cdot h=|\bar{u}\times\bar{v}|\cdot|\bar{w}|\cdot\cos\theta=(\bar{u}\times\bar{v})\cdot\bar{w} #

Positiv/negativ orienterad

W=\begin{cases}\{\bar{u}\times\bar{v})\cdot\bar{w} & \text{om }\bar{u},\bar{v}\bar{w}\text{ positivt orienterade}\\-(\bar{u}\times\bar{v})\cdot\bar{w} & \text{om }\bar{u},\bar{v}\bar{w}\text{ negativt orienterade}\end{cases}

Skalär trippelprodukt

  • (\bar{u}\times\bar{v})\cdot\bar{w} kallas den skalära trippelprodukten av \bar{u}, \bar{v} och \bar{w}.
  • (\bar{u}\times\bar{v})\cdot\bar{w}=(\bar{w}\times\bar{u})\cdot\bar{v}

Räkneregler

  1. \bar{u}\times\bar{v}=\bar{0}\Leftrightarrow\bar{u}\parallel\bar{v}
  2. \bar{v}\times\bar{u}=-\bar{u}\times\bar{v}
  3. (\bar{u}_{1}+\bar{u}_{2})\times\bar{v}=\bar{u}_{1}\times\bar{v}+\bar{u}_{2}\times\bar{v}
  4. (\lambda\bar{u})\times\bar{v}=\lambda(\bar{u}\times\bar{v})

Exempel

Ex.: Komposantuppdelning

Dela upp \bar{u}=(1,2,3) i komposanter (dvs. \bar{u}=\bar{u}_{1}+\bar{u}_{2})

\bar{u}_{1} och \bar{u}_{2} så att \bar{u}_{1}\bot\bar{u}_{2} och \bar{u}\parallel\bar{v}, där \bar{v}=(3,1,0).

  •  \bar{u} får vi som projektionen av \bar{u} på \bar{v}: \bar{u}_{1}=\frac{\bar{u}\cdot\bar{v}}{\bar{v}\cdot\bar{v}}\bar{v}
  • Dessutom: \bar{u}_{2}=\bar{u}-\bar{u}_{1}.
  • \bar{u}_{1}=\frac{(1,2,3)\cdot(3,1,0)}{(3,1,0)\cdot(3,1,0)}(3,1,0)=\frac{3+2+0}{9+1+0}(3,1,0)=\frac{1}{2}(3,1,0).
  • \bar{u}_{2}=\bar{u}-\bar{u}_{1}=\dots=\frac{1}{2}(-1,3,6).

Ex.: Ortogonal projektion och spegelbild

Bestäm den ortogonala projektionen Q av punkten P:(2,-3,1) i planet \pi:2x-2y+z-5=0. Bestäm även spegelbilden S av P i \pi

Ortogonala projektionen

  1. Välj den godtyckliga punkten R i planet \pi. R:(0,0,5), dvs. den uppfyller ekvationen för \pi.
  2. \vec{OQ}=\vec{OP}-\vec{QP}.
  3. \vec{OP} är känd.
  4. Normalvektorn \bar{n}=(2,-2,1).
  5. Använda normalen \bar{n}, som utgår från Q: \vec{QP} är \vec{RP} projicerad på \bar{n}.
  6. Dvs. \vec{QP}=\frac{\vec{RP}\cdot\bar{n}}{\bar{n}\cdot\bar{n}}\bar{n}
  7. Vi får \vec{OQ}=(2,-3,1)-\frac{(2,-3,1-5)\cdot(2,-2,1)}{(2,-2,1)\cdot(2,-2,1)}(2,-2,1)=\dots=\frac{1}{3}(2,-5,1)
  8. Q:\frac{1}{3}(2,-5,1) då ortsvektorn anger koordinaterna.

Speglingen

\vec{OS}=\vec{OP}-2\vec{QP}=(2,-3,1)-2\frac{(2,-3,1-5)\cdot(2,-2,1)}{(2,-2,1)\cdot(2,-2,1)}(2,-2,1)=\dots=\frac{-1}{3}(2,1,1)

Ex.: (minsta) avstånd mellan punkt och plan.

Bestäm det minsta avståndet mellan P:(2,-3,1) och \pi:2x-2y+z-5=0.

  1. Dvs. gå vinkelrätt från punkten till linjen.
  2. Sätt in projektionen av P på l och benämn den Q.
  3. Avståndet ges av \left|\vec{QP}\right|.
  4. Välj linjens riktningsvektor \bar{v}=(2,2,-1).
  5. Låt P_{0}:(1,2,-1) dvs. sätt t=0 i linjen l:s ekvation, för att få en punkt.
  6. Då är \vec{QP}=\vec{P_{0}P}-\vec{P_{0}Q}=\vec{P_{0}P}-\frac{\vec{P_{0}P}\cdot\bar{v}}{\bar{v}\cdot\bar{v}}\bar{v}=\frac{1}{9}(20,-7,26).
  7. Dvs. \left|\vec{QP}\right|=\frac{1}{9}\sqrt{20^{2}+(-7)^{2}+26^{2}}=\frac{5\sqrt{5}}{3}

Ex.: Skillnad skalärprodukt och vektorprodukt (kryssprodukt)

Skalärprodukt

(\bar{u}+\bar{v})\cdot(\bar{u}-\bar{v})=\bar{u}\cdot\bar{u}-\bar{u}\cdot\bar{v}+\underbrace{\bar{v}\cdot\bar{u}}_{\bar{u}\cdot\bar{v}}-\bar{v}\cdot\bar{v}=|\bar{u}|^{2}-|\bar{v}|^{2}

Vektorprodukt (kryssprodukt)

(\bar{u}+\bar{v})\times(\bar{u}-\bar{v})=\underbrace{\bar{u}\times\bar{u}}_{\text{\ensuremath{\bar{0}}}}-\bar{u}\times\bar{v}+\underbrace{\bar{v}\times\bar{u}}_{-\bar{u}\times\bar{v}}-\underbrace{\bar{v}\times\bar{v}}_{\bar{0}}=-2\bar{u}\times\bar{v}

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras. Obligatoriska fält är märkta *

Denna webbplats använder Akismet för att minska skräppost. Lär dig om hur din kommentarsdata bearbetas.