ON-bas, positiv/negativ orientering.

Vektorprodukt (kryssprodukt): definition, geometrisk tolkning, skalär tripperprodukt, räkneregler

Exempel: komposantuppdelning, ortogonal projektion, spegelbild, avstånd punkt och plan, skillnad skalärprodukt och vektorprodukt.

Föreläsningsanteckningarna

ON-bas

Antag att $latex \bar{e}_{1},\bar{e}_{2},\bar{e}_{3}$ utgör en ON-bas i rummet, och antag att $latex \bar{v}=x_{1}\bar{e}_{1}+x_{2}\bar{e}_{2}+x_{3}\bar{e}_{3}$. Då är:

$latex \begin{cases}x_{1}=\bar{v}\cdot\bar{e}_{1}\\x_{2}=\bar{v}\cdot\bar{e}_{2}\\x_{3}=\bar{v}\cdot\bar{e}_{3}\end{cases}$

Bevis

$latex \bar{v}\cdot\bar{e}_{1}=x_{1}\bar{e}_{1}+x_{2}\bar{e}_{2}+x_{3}\bar{e}_{3})\cdot\bar{e}_{1}=x_{1}\underbrace{\bar{e}_{1}\cdot\bar{e}_{1}}_{|\bar{e}_{1}|^{2}=1}+x_{2}\underbrace{\bar{e}_{2}\bar{e}_{1}}_{=0}+x_{3}\underbrace{\bar{e}_{3}\bar{e}_{1}}_{=0}=x_{1}$

Positiv/negativ orientering

Hur är vektorerna orienterade i förhållande till varandra?

I planet

Fri tolkning: ”Om den kortaste vägen mellan $latex \bar{u} $ och $latex \bar{v} $ är motsols är $latex \bar{u}$, $latex \bar{v}$ positivt orienterade. I annat fall negativt orienterade”

$latex \bar{u},\bar{v}$ positivt orienterade $latex \Leftrightarrow\bar{v}$, $latex \bar{u} $ negativt orienterade. (Byt plats på dem).

I rummet

$latex \bar{u},\bar{v},\bar{w}$ positivt orienterade om $latex \bar{u}$ och $latex \bar{v}$ ses positivt orienterade från huvudet på $latex \bar{w}$.

Vektorprodukt (kryssprodukt)

Produkten blir, tillskillnad från en skalärprodukt, en vektor.

Definition

Låt $latex \bar{u}\neq\bar{0}$, $latex \bar{v}\neq\bar{0}$ i rummet. Med vektorprodukten (kryssprodukten)  $latex \bar{u}\times\bar{v}$ menas den vektor som har egenskaperna:

1. $latex |\bar{u}\times\bar{v}|=|\bar{u}|\cdot|\bar{v}|\cdot\sin[\bar{u},\bar{v}]$.
2. $latex \bar{u}\times\bar{v}$ är ortogonal ($latex \bot$) mot $latex \bar{u}$ och $latex \bar{v}$.
3. De tre vektorerna $latex \bar{u}$, $latex \bar{v}$, $latex \bar{u}\times\bar{v}$ ska vara positivt orienterade.

Geometrisk tolkning

• $latex |\bar{u}\times\bar{v}|$  är arean av den parallellogram som spänns upp av $latex \bar{u}$ och $latex \bar{v}$.
• Låt $latex W$ vara volymen av den parallellepiped som spänns upp av $latex \bar{u}$, $latex \bar{v}$ och $latex \bar{w}$. Då är $latex W=\pm(\bar{u}\times\bar{v})\cdot\bar{w}$ där tecknet väljs så att $latex W$ blir positivt.

Bevis för det sistnämnda

$latex \left(\frac{h}{\bar{w}}=\cos\theta\right)$ Volymen=basarea x höjd=$latex |\bar{u}\times\bar{v}|\cdot h=|\bar{u}\times\bar{v}|\cdot|\bar{w}|\cdot\cos\theta=(\bar{u}\times\bar{v})\cdot\bar{w}$ #

Positiv/negativ orienterad

$latex W=\begin{cases}\{\bar{u}\times\bar{v})\cdot\bar{w} & \text{om }\bar{u},\bar{v}\bar{w}\text{ positivt orienterade}\\-(\bar{u}\times\bar{v})\cdot\bar{w} & \text{om }\bar{u},\bar{v}\bar{w}\text{ negativt orienterade}\end{cases}$

Skalär trippelprodukt

• $latex (\bar{u}\times\bar{v})\cdot\bar{w}$ kallas den skalära trippelprodukten av $latex \bar{u}$, $latex \bar{v}$ och $latex \bar{w}$.
• $latex (\bar{u}\times\bar{v})\cdot\bar{w}=(\bar{w}\times\bar{u})\cdot\bar{v}$

Räkneregler

1. $latex \bar{u}\times\bar{v}=\bar{0}\Leftrightarrow\bar{u}\parallel\bar{v}$
2. $latex \bar{v}\times\bar{u}=-\bar{u}\times\bar{v}$
3. $latex (\bar{u}_{1}+\bar{u}_{2})\times\bar{v}=\bar{u}_{1}\times\bar{v}+\bar{u}_{2}\times\bar{v}$
4. $latex (\lambda\bar{u})\times\bar{v}=\lambda(\bar{u}\times\bar{v})$

Exempel

Ex.: Komposantuppdelning

Dela upp $latex \bar{u}=(1,2,3)$ i komposanter (dvs. $latex \bar{u}=\bar{u}_{1}+\bar{u}_{2}$)

$latex \bar{u}_{1}$ och $latex \bar{u}_{2}$ så att $latex \bar{u}_{1}\bot\bar{u}_{2}$ och $latex \bar{u}\parallel\bar{v}$, där $latex \bar{v}=(3,1,0).$

•  $latex \bar{u}$ får vi som projektionen av $latex \bar{u}$ på $latex \bar{v}$: $latex \bar{u}_{1}=\frac{\bar{u}\cdot\bar{v}}{\bar{v}\cdot\bar{v}}\bar{v}$
• Dessutom: $latex \bar{u}_{2}=\bar{u}-\bar{u}_{1}$.
• $latex \bar{u}_{1}=\frac{(1,2,3)\cdot(3,1,0)}{(3,1,0)\cdot(3,1,0)}(3,1,0)=\frac{3+2+0}{9+1+0}(3,1,0)=\frac{1}{2}(3,1,0)$.
• $latex \bar{u}_{2}=\bar{u}-\bar{u}_{1}=\dots=\frac{1}{2}(-1,3,6)$.

Ex.: Ortogonal projektion och spegelbild

Bestäm den ortogonala projektionen $latex Q$ av punkten $latex P:(2,-3,1)$ i planet $latex \pi:2x-2y+z-5=0$. Bestäm även spegelbilden $latex S$ av $latex P$ i $latex \pi$

Ortogonala projektionen

1. Välj den godtyckliga punkten $latex R$ i planet $latex \pi$. $latex R:(0,0,5)$, dvs. den uppfyller ekvationen för $latex \pi$.
2. $latex \vec{OQ}=\vec{OP}-\vec{QP}$.
3. $latex \vec{OP}$ är känd.
4. Normalvektorn $latex \bar{n}=(2,-2,1)$.
5. Använda normalen $latex \bar{n}$, som utgår från $latex Q$: $latex \vec{QP}$ är $latex \vec{RP}$ projicerad på $latex \bar{n}$.
6. Dvs. $latex \vec{QP}=\frac{\vec{RP}\cdot\bar{n}}{\bar{n}\cdot\bar{n}}\bar{n}$
7. Vi får $latex \vec{OQ}=(2,-3,1)-\frac{(2,-3,1-5)\cdot(2,-2,1)}{(2,-2,1)\cdot(2,-2,1)}(2,-2,1)=\dots=\frac{1}{3}(2,-5,1)$
8. $latex Q:\frac{1}{3}(2,-5,1)$ då ortsvektorn anger koordinaterna.

Speglingen

$latex \vec{OS}=\vec{OP}-2\vec{QP}=(2,-3,1)-2\frac{(2,-3,1-5)\cdot(2,-2,1)}{(2,-2,1)\cdot(2,-2,1)}(2,-2,1)=\dots=\frac{-1}{3}(2,1,1)$

Ex.: (minsta) avstånd mellan punkt och plan.

Bestäm det minsta avståndet mellan $latex P:(2,-3,1)$ och $latex \pi:2x-2y+z-5=0$.

1. Dvs. gå vinkelrätt från punkten till linjen.
2. Sätt in projektionen av $latex P$ på $latex l$ och benämn den $latex Q$.
3. Avståndet ges av $latex \left|\vec{QP}\right|$.
4. Välj linjens riktningsvektor $latex \bar{v}=(2,2,-1)$.
5. Låt $latex P_{0}:(1,2,-1)$ dvs. sätt $latex t=0$ i linjen $latex l$:s ekvation, för att få en punkt.
6. Då är $latex \vec{QP}=\vec{P_{0}P}-\vec{P_{0}Q}=\vec{P_{0}P}-\frac{\vec{P_{0}P}\cdot\bar{v}}{\bar{v}\cdot\bar{v}}\bar{v}=\frac{1}{9}(20,-7,26)$.
7. Dvs. $latex \left|\vec{QP}\right|=\frac{1}{9}\sqrt{20^{2}+(-7)^{2}+26^{2}}=\frac{5\sqrt{5}}{3}$

Ex.: Skillnad skalärprodukt och vektorprodukt (kryssprodukt)

Skalärprodukt

$latex (\bar{u}+\bar{v})\cdot(\bar{u}-\bar{v})=\bar{u}\cdot\bar{u}-\bar{u}\cdot\bar{v}+\underbrace{\bar{v}\cdot\bar{u}}_{\bar{u}\cdot\bar{v}}-\bar{v}\cdot\bar{v}=|\bar{u}|^{2}-|\bar{v}|^{2}$

Vektorprodukt (kryssprodukt)

$latex (\bar{u}+\bar{v})\times(\bar{u}-\bar{v})=\underbrace{\bar{u}\times\bar{u}}_{\text{\ensuremath{\bar{0}}}}-\bar{u}\times\bar{v}+\underbrace{\bar{v}\times\bar{u}}_{-\bar{u}\times\bar{v}}-\underbrace{\bar{v}\times\bar{v}}_{\bar{0}}=-2\bar{u}\times\bar{v}$