Skalärprodukt, ortogonal, parallella vektorer, räkneregler för skalärprodukt, ortonormerad bas, skalärprodukt av ON-bas, planets normal.
Exempel: avstånd mellan punkter, vinkel mellan vektorer, vektor parallell med plan, vinkel mellan plan, ekvation för plan genom punkt och normal.
Skalärprodukt
- Multiplikation av vektorer
, där
är den minsta vinkeln mellan
och
Ortogonal
- Skrivs:
- Definition:
Ortogonal projektion av på
”En vektor i :s riktning vars längd skvallrar om hur mycket
pekar i
:s riktning”
Räkneregler
Ortonomerad bas (ON-bas)
En bas i rummet är ortonormerad
Skalärprodukt av ON-bas
Antag att utgör en ortonormerad (ON) bas.
I rummet: .
Exempel: Avstånd mellan punkter
ON-bas. Bestäm avståndet mellan .
Lösning
- Bestäm
- Avståndet mellan
och
är
Exempel: Vinkel mellan vektorer
ON-bas. Bestäm vinkeln mellan: och
.
Lösning
Planets normal
Vektor ortogonal mot planet (dvs. alla vektorer som är parallella med planet)
normal om
.
- Planet
.
- En normal ges av
Motivering
Låt vara två godtyckliga punkter i planet
. Då gäller
Dvs.
så
dvs.
utgör normal till
Exempel: Vektor parallell med plan
Är vektorn ?
Lösning
är normalvektorn till planet.
- Om
så är
- Ta skalärprodukten mot normalen. Parallell om produkten blir 0.
Exempel: Vinkel mellan plan
Bestäm vinkeln mellan
Lösning
- Vinkeln mellan plan är samma som mellan dess normaler.
Exempel: Ekvation för plan genom punkt och normal
Bestäm en ekvation för det plan som skär och har normalen
.
Lösning
Två metoder normalform och alternativt sätt. Normalform rekommenderas då den används i flerdimmen.
Normalform
Alternativt sätt
Eftersom är en normal så har planet ekvationen
för något tal
. Sätt in punkten
i planets ekvation och lös ut
.