FMA420 F4: 4.1-4.3

~ Tobias Mörtlund

Skalärprodukt, ortogonal, parallella vektorer, räkneregler för skalärprodukt, ortonormerad bas, skalärprodukt av ON-bas, planets normal.

Exempel: avstånd mellan punkter, vinkel mellan vektorer, vektor parallell med plan, vinkel mellan plan, ekvation för plan genom punkt och normal.

Skalärprodukt

  • Multiplikation av vektorer
  • \bar{u}\cdot\bar{v}=\left|\bar{u}\right|\cdot\left|\bar{v}\right|\cdot\cos\alpha, där \alpha är den minsta vinkeln mellan \bar{u} och \bar{v}

Ortogonal

  • Skrivs: \bar{u}\bot\bar{v}
  • Definition: \bar{u}\cdot\bar{v}=0

\bar{u} \parallel \bar{v}

Ortogonal projektion av \bar{u} på \bar{v}

”En vektor i \bar{v}:s riktning  vars längd skvallrar om hur mycket \bar{u} pekar i \bar{v}:s riktning”

\bar{u}_{\parallel}=\frac{\bar{u}\cdot\bar{v}}{\bar{v}\cdot\bar{v}}\bar{v}

Räkneregler

  • \bar{u}\cdot\bar{u}=\left|\bar{u}\right|^{2}
  • \bar{u}\cdot\bar{v}=\bar{v}\cdot\bar{u}
  • \bar{u}\cdot\left(\bar{v}+\bar{w}\right)=\bar{u}\cdot\bar{v}+\bar{u}\cdot\bar{w}
  • \left(\lambda\bar{u}\right)\cdot\bar{v}=\lambda\left(\bar{u}\cdot\bar{v}\right)

Ortonomerad bas (ON-bas)

En bas \bar{e}_{1},\bar{e}_{2},\bar{e}_{3} i rummet är ortonormerad

  • |\bar{e}_1|+ |\bar{e}_2|+ |\bar{e}_3|=1
  • \begin{cases}\bar{e}_1\cdot\bar{e}_2=0\\\bar{e}_1\cdot\bar{e}_3=0\\\bar{e}_2\cdot\bar{e}_3=0\end{cases}

Skalärprodukt av ON-bas

Antag att \bar{e}_{1},\bar{e}_{2} utgör en ortonormerad (ON) bas.

  • |\bar{e}_{1}|=|\bar{e}_{2}|=1
  • \bar{e}_{1}\cdot\bar{e}_{2}=0
  • \bar{u}=x_{1}\bar{e}_{1}+x_{2}\bar{e}_{2}
  • \bar{v}=y_1\bar{e}_1+y_2\bar{e}_2
  • \bar{u}\cdot\bar{v}=\ldots=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}
  • \left(x_{1},x_{2}\right)\cdot\left(y_{1},y_{2}\right)=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}

I rummet: \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\cdot\left(y_{1},y_{2},y_{3}\right)=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}.

Exempel: Avstånd mellan punkter

ON-bas. Bestäm avståndet mellan P_1:(x_0,y_0,z_0),P_2:(x_1,y_1,z_1).

Lösning

  1. Bestäm |\vec{P_1P_2}|^2 =(x_o,y_0,z_0)\cdot(x_1,y_1,z_1)=(x_0x_1+y_0y_1+z_0z_1)
  2. Avståndet mellan P_1 och P_2 är \sqrt{|\vec{P_1P_2}|^2}

Exempel: Vinkel mellan vektorer

ON-bas. Bestäm vinkeln mellan: \bar{u}=(x_0,y_0,z_0) och \bar{v}=(x_1,y_1,z_1).

Lösning

\cos\alpha=\frac{\bar{u}\cdot\bar{v}}{|\bar{u}|\cdot|\bar{v}|}

Planets normal

Vektor ortogonal mot planet (dvs. alla vektorer som är parallella med planet)

  • \bar{n} normal om \bar{n}\bot\text{alla vektorer }\parallel\text{planet}.
  • Planet \pi:ax+by+cz+d=0.
  • En normal ges av \bar{n}=(a,b,c)

Motivering

Låt P_1(x_1,y_1,z_1),P_2(x_2,y_2,z_2) vara två godtyckliga punkter i planet \pi. Då gäller

\begin{cases}ax_1+by_1+cz_1+d=0 & (*)\\ ax_2+by_2+cz_2+d=0 & (**)\end{cases}

(*)-(**)=a(x_1-x_2)+b(y_1-y_2)+c(z_1-z_2)=0 Dvs. (a,b,c)\cdot \underbrace{(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)}_{=\vec{P_2P_1}}=0 så (a,b,c) \bot \vec{P_2P_1} dvs. \bar{n}=(a,b,c) utgör normal till \pi

Exempel: Vektor parallell med plan

Är vektorn \bar{u}=(x_0,y_0,z_0)\parallel \pi: ax+by+cz+d=0?

Lösning

  • \bar{n} är normalvektorn till planet.
  • Om \bar{u}\bot\bar{n} så är \bar{u}\parallel\pi
  • Ta skalärprodukten mot normalen. Parallell om produkten blir 0.

Exempel: Vinkel mellan plan

Bestäm vinkeln mellan \pi_1:a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0,\pi_2:a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0

Lösning

  • Vinkeln mellan plan är samma som mellan dess normaler.

Exempel: Ekvation för plan genom punkt och normal

Bestäm en ekvation för det plan som skär (x_0,y_0,z_o) och har normalen (x_1,y_1,z_1).

Lösning

Två metoder normalform och alternativt sätt. Normalform rekommenderas då den används i flerdimmen.

Normalform

\bar{n}\cdot((x,y,z)-(x_0,y_0,z_0))=0\Leftrightarrow ax+by+cz+d=0

Alternativt sätt

Eftersom (x_1,y_1,z_1) är en normal så har planet ekvationen x_1x+y_1y+z_1z+d=0 för något tal d. Sätt in punkten (x_0,y_0,z_0) i planets ekvation och lös ut d.

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras. Obligatoriska fält är märkta *

Denna webbplats använder Akismet för att minska skräppost. Lär dig hur din kommentardata bearbetas.