Innehållsförteckning
Skalärprodukt, ortogonal, parallella vektorer, räkneregler för skalärprodukt, ortonormerad bas, skalärprodukt av ON-bas, planets normal.
Exempel: avstånd mellan punkter, vinkel mellan vektorer, vektor parallell med plan, vinkel mellan plan, ekvation för plan genom punkt och normal.
Skalärprodukt
- Multiplikation av vektorer
- $latex \bar{u}\cdot\bar{v}=\left|\bar{u}\right|\cdot\left|\bar{v}\right|\cdot\cos\alpha$, där $latex \alpha $ är den minsta vinkeln mellan $latex \bar{u}$ och $latex \bar{v}$
Ortogonal
- Skrivs: $latex \bar{u}\bot\bar{v}$
- Definition: $latex \bar{u}\cdot\bar{v}=0$
$latex \bar{u} \parallel \bar{v} &s=4$
Ortogonal projektion av $latex \bar{u}$ på $latex \bar{v} $
”En vektor i $latex \bar{v}$:s riktning vars längd skvallrar om hur mycket $latex \bar{u}$ pekar i $latex \bar{v}$:s riktning”
$latex \bar{u}_{\parallel}=\frac{\bar{u}\cdot\bar{v}}{\bar{v}\cdot\bar{v}}\bar{v}$
Räkneregler
- $latex \bar{u}\cdot\bar{u}=\left|\bar{u}\right|^{2}$
- $latex \bar{u}\cdot\bar{v}=\bar{v}\cdot\bar{u}$
- $latex \bar{u}\cdot\left(\bar{v}+\bar{w}\right)=\bar{u}\cdot\bar{v}+\bar{u}\cdot\bar{w}$
- $latex \left(\lambda\bar{u}\right)\cdot\bar{v}=\lambda\left(\bar{u}\cdot\bar{v}\right)$
Ortonomerad bas (ON-bas)
En bas $latex \bar{e}_{1},\bar{e}_{2},\bar{e}_{3}$ i rummet är ortonormerad
- $latex |\bar{e}_1|+ |\bar{e}_2|+ |\bar{e}_3|=1 $
- $latex \begin{cases}\bar{e}_1\cdot\bar{e}_2=0\\\bar{e}_1\cdot\bar{e}_3=0\\\bar{e}_2\cdot\bar{e}_3=0\end{cases} $
Skalärprodukt av ON-bas
Antag att $latex \bar{e}_{1},\bar{e}_{2}$ utgör en ortonormerad (ON) bas.
- $latex |\bar{e}_{1}|=|\bar{e}_{2}|=1$
- $latex \bar{e}_{1}\cdot\bar{e}_{2}=0$
- $latex \bar{u}=x_{1}\bar{e}_{1}+x_{2}\bar{e}_{2}$
- [latex]\bar{v}=y_1\bar{e}_1+y_2\bar{e}_2[/latex]
- $latex \bar{u}\cdot\bar{v}=\ldots=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}$
- [latex]\left(x_{1},x_{2}\right)\cdot\left(y_{1},y_{2}\right)=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}[/latex]
I rummet: $latex \left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\cdot\left(y_{1},y_{2},y_{3}\right)=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}$.
Exempel: Avstånd mellan punkter
ON-bas. Bestäm avståndet mellan $latex P_1:(x_0,y_0,z_0),P_2:(x_1,y_1,z_1)$.
Lösning
- Bestäm $latex |\vec{P_1P_2}|^2 =(x_o,y_0,z_0)\cdot(x_1,y_1,z_1)=(x_0x_1+y_0y_1+z_0z_1) $
- Avståndet mellan $latex P_1$ och $latex P_2$ är $latex \sqrt{|\vec{P_1P_2}|^2}$
Exempel: Vinkel mellan vektorer
ON-bas. Bestäm vinkeln mellan: $latex \bar{u}=(x_0,y_0,z_0)$ och $latex \bar{v}=(x_1,y_1,z_1)$.
Lösning
$latex \cos\alpha=\frac{\bar{u}\cdot\bar{v}}{|\bar{u}|\cdot|\bar{v}|}$
Planets normal
Vektor ortogonal mot planet (dvs. alla vektorer som är parallella med planet)
- $latex \bar{n}$ normal om $latex \bar{n}\bot\text{alla vektorer }\parallel\text{planet}$.
- Planet $latex \pi:ax+by+cz+d=0$.
- En normal ges av $latex \bar{n}=(a,b,c)$
Motivering
Låt $latex P_1(x_1,y_1,z_1),P_2(x_2,y_2,z_2)$ vara två godtyckliga punkter i planet $latex \pi$. Då gäller
$latex \begin{cases}ax_1+by_1+cz_1+d=0 & (*)\\ ax_2+by_2+cz_2+d=0 & (**)\end{cases}$
$latex (*)-(**)=a(x_1-x_2)+b(y_1-y_2)+c(z_1-z_2)=0$ Dvs. $latex (a,b,c)\cdot \underbrace{(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)}_{=\vec{P_2P_1}}=0$ så $latex (a,b,c) \bot \vec{P_2P_1}$ dvs. $latex \bar{n}=(a,b,c)$ utgör normal till $latex \pi$
Exempel: Vektor parallell med plan
Är vektorn $latex \bar{u}=(x_0,y_0,z_0)\parallel \pi: ax+by+cz+d=0$?
Lösning
- $latex \bar{n}$ är normalvektorn till planet.
- Om $latex \bar{u}\bot\bar{n}$ så är $latex \bar{u}\parallel\pi$
- Ta skalärprodukten mot normalen. Parallell om produkten blir 0.
Exempel: Vinkel mellan plan
Bestäm vinkeln mellan $latex \pi_1:a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0,\pi_2:a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$
Lösning
- Vinkeln mellan plan är samma som mellan dess normaler.
Exempel: Ekvation för plan genom punkt och normal
Bestäm en ekvation för det plan som skär $latex (x_0,y_0,z_o)$ och har normalen $latex (x_1,y_1,z_1)$.
Lösning
Två metoder normalform och alternativt sätt. Normalform rekommenderas då den används i flerdimmen.
Normalform
$latex \bar{n}\cdot((x,y,z)-(x_0,y_0,z_0))=0\Leftrightarrow ax+by+cz+d=0$
Alternativt sätt
Eftersom $latex (x_1,y_1,z_1)$ är en normal så har planet ekvationen $latex x_1x+y_1y+z_1z+d=0$ för något tal $latex d$. Sätt in punkten $latex (x_0,y_0,z_0)$ i planets ekvation och lös ut $latex d$.