Innehållsförteckning

Gausselimination, pivotposition, antal lösningar, exempel på gausselimination, matrisaddition, -multiplikation, tal multiplicerat med matris

Gausselimination

Byt ordning på raderna
Skapa ett trappsystem genom att:
- Multiplicera tal gånger rad och därefter gånger annan rad
- Rad gånger tal

Antal lösningar

En
Ingen (0=n, n≠0)
Oändligt många (0=0)
- Parameterform (z=t)
- Vad blir x och y uttryckt i z?

Exempel

$\begin{cases}\begin{array}{ccc}x & +2y & +z=1\\& -y & -4z=0\\& & z=0\end{array}\end{cases}$

Lösning: x=-1, y=1, z=0

$\begin{cases}\begin{array}{ccccc}x & +2y & +z & = & 1\\2x & +3y & -2z & = & 1\\3x & +4y & -4z & = & 1\end{array}\end{cases}$

Lösning: Samma som ovan!

$\begin{cases}\begin{array}{ccccc}2x & +3y & -2z & = & 1\\x & +2y & +z & = & 1\\3x & +4y & -5z & = & 1\end{array}\end{cases}$

Lösning: $\begin{cases}\begin{array}{cccc}x & = & 7t & -1\\y & = & -4t & +1\\z & = & t\end{array} & ,t\in\mathbb{R}\end{cases}$

$\begin{cases}\begin{array}{ccccc}x & +2y & +z & = & 1\\2x & +3y & -2z & = & 1\\3x & +4y & -5z & = & 2\end{array}\end{cases}$

Lösning: Saknas!

Matriser

”rader*kolonner-matris”
”de inre siffrorna måste vara samma vid multiplikation”
”de yttre siffrorna säger storleken på produkt-matrisen”

Addition

$\left(\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}5 & 6\\7 & 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+5=6 & 2+6=8\\3+7=10 & 4+8=12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6 & 8\\10 & 12\end{array}\right)$

Multiplikation

$\left(\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\\5 & 6\end{array}\right)\begin{pmatrix}7 & 8\\9 & 10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot7+2\cdot9 & 1\cdot8+2\cdot10\\3\cdot7+4\cdot9 & 3\cdot8+4\cdot10\\5\cdot7+6\cdot9 & 5\cdot8+6\cdot10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}25 & 28\\57 & 64\\89 & 100\end{pmatrix}$

Skrivform gausselimination

$\begin{cases}x_{1}+2x_{2}+x_{3}=1\\2x_{1}+3x_{2}-2x_{3}=2\\3x_{1}+4x_{2}-4x_{3}=3\end{cases}$ kan skrivas som $A\chi=\Upsilon$ där:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1\\2 & 3 & -2\\3 & 4 & -2\end{array}\right)$ , $\chi=\left(\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right)$ och $\Upsilon=\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)$

Med detta följer följande skrivsätt:

$\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1\\2 & 3 & -2\\3 & 4 & -4\end{array}\begin{array}{c}|1\\|2\\|3\end{array}\right)$

FMA420 F1: 1, 7.1-7.2