FAFA30 F6: FVG7,8,9

Ex.: Blodtryck. Ex.: Bolmenanläggningen. Ex.: Eka.

Termodynamik: frihetsgrader, tillståndsändringar (isoterm, isobar, isokor och adiabat), Termodynamikens första huvudsats. Arbete, värme, C , inre energiändring,

Exempel: Blodtryck

  • Äldre person: 180/110
  • I ungdomen: 120/90

a) Vad är enheten?

b) Uppskatta hur många procent blodomloppets ’rörradie’ har minskat? Antag: oförändrat flöde.

Lösning

a) Enheten är mmHg

b) Poissons ekvation: \phi =\frac{\pi}{8\eta}\cdot \frac{p_1-p_2}{L}R^4

  1. Antar att den gamla radien är x\cdot R.
  2. Då oförändrat flöde förutsätts innebär att: \phi_{ung}=\phi_{gammal}
  3. Sätter \alpha=\frac{\pi}{8\eta}\cdot \frac{1}{L} . Detta då \alpha är konstant för båda åldrarna. 
  4. Den nya ekvationen lyder alltså: \phi_\alpha=\alpha\cdot (p_1-p_2)\cdot R^4
  5. \phi_{\alpha,ung}=\phi_{\alpha,gammal}\Leftrightarrow \alpha \cdot 30\cdot R^4=\alpha \cdot 70(xR)^4
  6. 1=\frac{3}{7x}=0,81
  7. Svar: 19%

Exempel: Bolmenanläggningen

Dricksvatten från en sjö i Småland till Lund.

  • Längd, L=80km
  • Höjdskillnad, h=90m
  • Area, A=8m^2
  • Flöde, v=2,5m^3/s

a) Är flödet laminärt eller turbulent?

b) Vad är tryckfallet p.g.a. friktionen?

Lösning

a) Använder Reynolds tal: Re=\frac{\rho Vd}{\eta}.

  1. Räknar ut rörets diameter: A=\pi R^2=8m^2\Leftrightarrow R=1,6m \Leftrightarrow d=3,2m
  2. Räknat ut hastigheten för fluiden: \phi=vA=2,5m^3/s \Leftrightarrow v=0,3m/s
  3. Vet att \rho=10^3, \eta=10^-3
  4. Sätter in i ekvationen för Re: Re=\frac{10^3\cdot 0,3\cdot 2\cdot 1,6}{10^-3}=9,6\cdot 10^5
  5. Turbulent eftersom Re > 4000

b) Använder sambandet: p_1-p_2=2f\frac{L}{R} \cdot \frac{\rho v^2}{2}=f\frac{L\rho \phi^2}{\pi^2\cdot R^5}. Antar skrovlig yta (påverkar tabelvärdet f )

  1. \Delta p=2\cdot 0,7\frac{8\cdot 10^4\cdot 10^3\cdot 0,32}{1,6\cdot 2}=3\cdot 10^5 Pa
  2. Svar: Tryckfallet p.g.a. friktionen är 10^5 Pa

Bonus: Behöver vattnet pumpas?

  1. \Delta p_{niva}=\rho g h = 10^3\cdot 9,81\cdot 90 \approx 9\cdot 10^5 Pa
  2. \Delta p_{niva} > \Delta_p så det behövs ej pumpar.

 Exempel: Eka

Eka förtöjd. Strömningshastigheten ökar p.g.a. regn.

  • Längd, L=2,5 m
  • Bredd, b=0,6 m
  • Höjd, h=0,4 m
  • Massa, m=75 kg

Antagande

  • Vattnet: ideal fluid
  • Ok använda Bernoullis ekvation.

a) Beräkna ekans djupgående (dvs. avståndet mellan botten och vattenlinjen) innan vattnets strömningshastighet ökar.

b) Vid vilken strömningshastighet i vattenfylls ekan (dvs. djupgåendet = höjden = -0,4 m)?

Lösning

  • Väljer vattenytan som referenslinje, dvs. då y=0. Detta innebär att botten befinner sig på y=-0,4
  • På ekan verkar ett tryck P=P_{atm}+\frac{F}{A}=P_{atm}+\frac{mg}{L\cdot b}
  • Lägger ut tre stycken referenspunkter
    1. Botten på ekan, lugnt vatten
    2. Botten på ekan, strömmande  vatten
    3. Ytan på ekan, strömmande vatten
  • Hastigheten är lika på botten och ytan i det strömmande vattnet: v_2=v_3=0 (ty båten står still)
  • Bernoullis ekvation: p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g y_1=p_2+\underbrace{\frac{1}{2}\rho v_2^2}_{=0}+\rho g y_2=p_{atm} . Där p_{atm} är atmosfärstrycket
  • p_1=p_2=p_{atm}+\frac{mg}{A}

a)

  1. p_2+\rho g y_2=p_{atm}
  2. p_{atm}+\frac{mg}{A}+\rho g y_2=p_{atm}\Rightarrow y_2=\frac{m}{A\rho}=\frac{75 kg}{2,5m\cdot 0,6m\cdot 10^3 kg/m^3}=0,05m
  3. Svar djupgåendet är 0,05.

b)

  1. Genom att använda positionerna (1) och (2) fås: \frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g y_1=\rho g y_2\Rightarrow v_1=\sqrt{2g(y_2-y_1)}=2,6m/s

Termodynamik

Tryck: p=\frac{2}{3}n_0(W_{kin})_{en}

Kinetisk energi, ideal gas: (W_{kin})_{en}=\frac{3}{2}kT. (k=1,380650\cdot 10^{-23}J\cdot K^{-1}\cdot stycken^{-1} ).

Frihetsgrader

  • Behövs för att kunna beräkna W_{kin} .
  • I rummet: 3 frihetsgrader.
  • Ädelgaser: 3 frihetsgrader.
  • Varje frihetsgrad ger: W_{kin}=\left( \frac{1}{2}kT \right )\cdot \text{antal frihetsgrader} .
  • Molekyler (av flera atomer) kan även vibrera och rotera vilket ger minst tre frihetsgrader för en gas.

Tillståndsändring

pV-diagram

  • Isoterm => konstant temperatur (\Delta T=0)
  • Isobar => konstant tryck (\Delta p=0)
  • Isokor => konstant volym (\Delta V=0)
  • Adiabat => ingen värmeförändring (\Delta Q=0)

Termodynamikens första huvudsats

\underbrace{Q}_\text{Tillford varme}=\underbrace{\Delta U}_\text{Andring av inre energi}+\underbrace{W}_\text{Utfort arbete}

  • Q>0\Leftrightarrow \text{Systemet tillfors varme}
  • \Delta U=\text{Slutenergi}-\text{Startenergi}
  • W>0\Leftrightarrow \text{Systemet utfor arbete}

Arbete

dW=p\cdot dV

Värme

Q=mc\Delta T=\frac{m}{n}cM\Delta T=nC\Delta T

  • Molar specifik värmekapacitet: C=cM
  • (För gaser används oftast Q=nC\Delta T)

Två olika C (isokor/isobar)

  • Isokor: C_v , W=0
  • Isobar C_p, W>0
  • C_p>C_v. (För isobar blir del av Q W)

Inre energiändring

Ideal gas: W_{pot}=0. Inre energin helt beroende av T.

\Delta U=\frac{f}{2}Nk\Delta T=n\frac{f}{2}R\Delta T

  • U är inre energiändringen
  • f är antalet frihetsgrader (enatomig gas och ädelgaser: f=3 )
  • O_2,N_2:f=5 om 50K<T<2000K

C_v=\frac{f}{2}R

C_p=\frac{f}{2}R+R

\gamma=\frac{C_p}{C_v}

Isokor Isobar Isoterm Adiabat
Q  \frac{f}{2}nR\Delta TnC_v\Delta T  \left( \frac{f}{2}+1\right) nR\Delta TnC_p\Delta T  Q=W 0
 \Delta U  \frac{f}{2}nR\Delta T  \frac{f}{2}nR\Delta T  0 \frac{f}{2}nR\Delta T
 W  0  p(V_2-V_1) nR\Delta T nRT\ln \left( \frac{V_2}{V_1} \right ) -\Delta U

Kommentera

E-postadressen publiceras inte. Obligatoriska fält är märkta *

Denna webbplats använder Akismet för att minska skräppost. Lär dig hur din kommentardata bearbetas.