Innehållsförteckning

Ex.: Blodtryck. Ex.: Bolmenanläggningen. Ex.: Eka.

Termodynamik: frihetsgrader, tillståndsändringar (isoterm, isobar, isokor och adiabat), Termodynamikens första huvudsats. Arbete, värme, $C$ , inre energiändring,

Exempel: Blodtryck

Äldre person: 180/110
I ungdomen: 120/90

a) Vad är enheten?

b) Uppskatta hur många procent blodomloppets ’rörradie’ har minskat? Antag: oförändrat flöde.

Lösning

a) Enheten är mmHg

b) Poissons ekvation: $\phi =\frac{\pi}{8\eta}\cdot \frac{p_1-p_2}{L}R^4$

Antar att den gamla radien är $x\cdot R$ .
Då oförändrat flöde förutsätts innebär att: $\phi_{ung}=\phi_{gammal}$
Sätter $\alpha=\frac{\pi}{8\eta}\cdot \frac{1}{L}$ . Detta då $\alpha$ är konstant för båda åldrarna.
Den nya ekvationen lyder alltså: $\phi_\alpha=\alpha\cdot (p_1-p_2)\cdot R^4$
$\phi_{\alpha,ung}=\phi_{\alpha,gammal}\Leftrightarrow \alpha \cdot 30\cdot R^4=\alpha \cdot 70(xR)^4$
$1=\frac{3}{7x}=0,81$
Svar: 19%

Exempel: Bolmenanläggningen

Dricksvatten från en sjö i Småland till Lund.

Längd, $L=80km$
Höjdskillnad, $h=90m$
Area, $A=8m^2$
Flöde, $v=2,5m^3/s$

a) Är flödet laminärt eller turbulent?

b) Vad är tryckfallet p.g.a. friktionen?

Lösning

a) Använder Reynolds tal: $Re=\frac{\rho Vd}{\eta}$ .

Räknar ut rörets diameter: $A=\pi R^2=8m^2\Leftrightarrow R=1,6m \Leftrightarrow d=3,2m$
Räknat ut hastigheten för fluiden: $\phi=vA=2,5m^3/s \Leftrightarrow v=0,3m/s$
Vet att $\rho=10^3$ , $\eta=10^-3$
Sätter in i ekvationen för Re: $Re=\frac{10^3\cdot 0,3\cdot 2\cdot 1,6}{10^-3}=9,6\cdot 10^5$
Turbulent eftersom $Re > 4000$

b) Använder sambandet: $p_1-p_2=2f\frac{L}{R} \cdot \frac{\rho v^2}{2}=f\frac{L\rho \phi^2}{\pi^2\cdot R^5}$ . Antar skrovlig yta (påverkar tabelvärdet $f$ )

$\Delta p=2\cdot 0,7\frac{8\cdot 10^4\cdot 10^3\cdot 0,32}{1,6\cdot 2}=3\cdot 10^5 Pa$
Svar: Tryckfallet p.g.a. friktionen är $10^5 Pa$

Bonus: Behöver vattnet pumpas?

$\Delta p_{niva}=\rho g h = 10^3\cdot 9,81\cdot 90 \approx 9\cdot 10^5 Pa$
$\Delta p_{niva} > \Delta_p$ så det behövs ej pumpar.

Exempel: Eka

Eka förtöjd. Strömningshastigheten ökar p.g.a. regn.

Längd, $L=2,5 m$
Bredd, $b=0,6 m$
Höjd, $h=0,4 m$
Massa, $m=75 kg$

Antagande

Vattnet: ideal fluid
Ok använda Bernoullis ekvation.

a) Beräkna ekans djupgående (dvs. avståndet mellan botten och vattenlinjen) innan vattnets strömningshastighet ökar.

b) Vid vilken strömningshastighet i vattenfylls ekan (dvs. djupgåendet = höjden = -0,4 m)?

Lösning

Väljer vattenytan som referenslinje, dvs. då $y=0$ . Detta innebär att botten befinner sig på $y=-0,4$
På ekan verkar ett tryck $P=P_{atm}+\frac{F}{A}=P_{atm}+\frac{mg}{L\cdot b}$
Lägger ut tre stycken referenspunkter

1. Botten på ekan, lugnt vatten
2. Botten på ekan, strömmande vatten
3. Ytan på ekan, strömmande vatten

Hastigheten är lika på botten och ytan i det strömmande vattnet: $v_2=v_3=0$ (ty båten står still)
Bernoullis ekvation: $p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g y_1=p_2+\underbrace{\frac{1}{2}\rho v_2^2}_{=0}+\rho g y_2=p_{atm}$ . Där $p_{atm}$ är atmosfärstrycket
$p_1=p_2=p_{atm}+\frac{mg}{A}$

$p_2+\rho g y_2=p_{atm}$
$p_{atm}+\frac{mg}{A}+\rho g y_2=p_{atm}\Rightarrow y_2=\frac{m}{A\rho}=\frac{75 kg}{2,5m\cdot 0,6m\cdot 10^3 kg/m^3}=0,05m$
Svar djupgåendet är 0,05.

Genom att använda positionerna (1) och (2) fås: $\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g y_1=\rho g y_2\Rightarrow v_1=\sqrt{2g(y_2-y_1)}=2,6m/s$

Termodynamik

Tryck: $p=\frac{2}{3}n_0(W_{kin})_{en}$

Kinetisk energi, ideal gas: $(W_{kin})_{en}=\frac{3}{2}kT$ . ( $k=1,380650\cdot 10^{-23}J\cdot K^{-1}\cdot stycken^{-1}$ ).

Frihetsgrader

Behövs för att kunna beräkna $W_{kin}$ .
I rummet: 3 frihetsgrader.
Ädelgaser: 3 frihetsgrader.
Varje frihetsgrad ger: $W_{kin}=\left( \frac{1}{2}kT \right )\cdot \text{antal frihetsgrader}$ .
Molekyler (av flera atomer) kan även vibrera och rotera vilket ger minst tre frihetsgrader för en gas.

Tillståndsändring

pV-diagram

Isoterm => konstant temperatur ( $\Delta T=0$ )
Isobar => konstant tryck ( $\Delta p=0$ )
Isokor => konstant volym ( $\Delta V=0$ )
Adiabat => ingen värmeförändring ( $\Delta Q=0$ )

Termodynamikens första huvudsats

$\underbrace{Q}_\text{Tillford varme}=\underbrace{\Delta U}_\text{Andring av inre energi}+\underbrace{W}_\text{Utfort arbete}$

$Q>0\Leftrightarrow \text{Systemet tillfors varme}$
$\Delta U=\text{Slutenergi}-\text{Startenergi}$
$W>0\Leftrightarrow \text{Systemet utfor arbete}$

Arbete

$dW=p\cdot dV$

Värme

$Q=mc\Delta T=\frac{m}{n}cM\Delta T=nC\Delta T$

Molar specifik värmekapacitet: $C=cM$
(För gaser används oftast $Q=nC\Delta T$ )

Två olika $C$ (isokor/isobar)

Isokor: $C_v$ , $W=0$
Isobar $C_p$ , $W>0$
$C_p>C_v$ . (För isobar blir del av $Q$ $W$ )

Inre energiändring

Ideal gas: $W_{pot}=0$ . Inre energin helt beroende av $T$ .

$\Delta U=\frac{f}{2}Nk\Delta T=n\frac{f}{2}R\Delta T$

$U$ är inre energiändringen
$f$ är antalet frihetsgrader (enatomig gas och ädelgaser: $f=3$ )
$O_2,N_2:f=5$ om $50K<T<2000K$

$C_v=\frac{f}{2}R$

$C_p=\frac{f}{2}R+R$

$\gamma=\frac{C_p}{C_v}$

	Isokor	Isobar	Isoterm	Adiabat
$Q$	$\frac{f}{2}nR\Delta T$ $nC_v\Delta T$	$\left( \frac{f}{2}+1\right) nR\Delta T$ $nC_p\Delta T$	$Q=W$	0
$\Delta U$	$\frac{f}{2}nR\Delta T$	$\frac{f}{2}nR\Delta T$	0	$\frac{f}{2}nR\Delta T$
$W$	0	$p(V_2-V_1)$ $nR\Delta T$	$nRT\ln \left( \frac{V_2}{V_1} \right )$	$-\Delta U$